動画の解説を参照
ベクトルとは、「大きさ」と「向き」を持った量です。
平面ベクトルなら \(x\), \(y\) の2つ、空間ベクトルなら \(x\), \(y\), \(z\) の3つの量 (成分) で表すことができます。
例えば始点 \(A=(2, 1, 3)\) から終点 \(B=(1, 3, 5)\) に向かうベクトル \(\boldsymbol{a}\) は
\(\boldsymbol{a}=(-1, 2, 2)\)
となります。
なお、一般に点は大文字のアルファベット、ベクトルは小文字の太字で書きます。手書きでは下図のような書き方です。
原点 (0, 0, 0) を始点、 (2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a} = (2, 4, 3)\) を図示するとこのようになります。
この場合の作図の手順は以下の通りです。
- \(x, y, z\) 軸を描く (それぞれの線どうしの角度は120°を目安とする)
- それぞれの軸の先端あたりに \(x, y, z\) の文字を入れる
- 軸上にベクトルの成分の値 2, 4, 3を書く (書く位置は数値にあわせる)
- 原点と「2」,「4」の位置を頂点とする平行四辺形をつくる
- その平行四辺形の対角線を描く
- 対角線の2つの端点、「3」の位置を頂点とする平行四辺形をつくる
- 原点からその平行四辺形の頂点に向かう矢印を描く
- その矢印の中間あたりに「\(\boldsymbol{a}\)」の文字を書く
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
概要の図と同様の方法で、原点を始点とするベクトル \(\boldsymbol{a}=\) (
) の図を描いてください。
課題1ヒント
動画の解説を参照
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) の大きさ、つまり長さは三平方の定理から求められます。
\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)
課題1のベクトル \(\boldsymbol{a}\) の大きさを求めてください。
計算過程も書き、四捨五入して小数第1位までにしてください。
結果が整数になる場合も小数第1位まで書いてください。
課題2ヒント
動画の解説を参照
2つのベクトルの和・差でできるベクトルの成分は、それぞれの成分どうしの和・差で求められます。つまり、
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、
\(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)\)
\(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y, a_z-b_z)\)
となります。
また、ベクトルをスカラー倍してできるベクトルの成分は元のベクトルの成分にそのスカラー値をかけて求められます。
\(s\boldsymbol{a} = (sa_x, sa_y, sa_z)\)
\(\boldsymbol{a} = \)
(
),
\(\boldsymbol{b} = \)
(
)
とした場合の、
\(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\),
\(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\),
\(\boldsymbol{a}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題3ヒント
動画の解説を参照
2つのベクトルの内積はスカラー量で、「同じ方向の成分どうしの積の和」で求められます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)
\(=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\)
課題3のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の内積を求めてください。
計算過程も書いてください。
課題4ヒント
動画の解説を参照
2つのベクトルの外積はベクトル量で、成分は以下のようにして求められます。
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)
\(= (a_yb_z - a_zb_y,\)
\(a_zb_x - a_xb_z ,\)
\(a_xb_y - a_yb_x)\)
課題3のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の外積を求めてください。
計算過程も書いてください。
課題5ヒント