動画の解説を参照
2次ベジェ曲線とは3つの点で決まる曲線で、原点からそれらの点に向かうベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_1\), \(\boldsymbol{P}_2\)
とすると、
\(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_2\) の終点が曲線の端点となり、\(\boldsymbol{P}_2\) が曲線の曲がり方を決定します。
原点から曲線上の点に向かうベクトルは0～1の範囲の変数 \(t\) をパラメータとして
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^2\boldsymbol{P}_0\)
\(+2t(1-t)\boldsymbol{P}_1\)
\(+t^2\boldsymbol{P}_2\)
のように表されます。
曲線は \(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_1\) の終点を結ぶ線分 (赤),
\(\boldsymbol{P}_1\), \(\boldsymbol{P}_2\) の終点を結ぶ線分 (緑) と端点でなめらかに接します。
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
\(\boldsymbol{P}_0\) = (
),
\(\boldsymbol{P}_1\) = (
),
\(\boldsymbol{P}_2\) = (
)
の2次ベジェ曲線の近似である8本のセグメントからなる折れ線の図を描いてください。
図には概要の赤・緑の線分も入れてください。
折れ線の端点、中間点の座標は四捨五入して小数第2位までにし、以下のフォーマットの表にまとめてください。
| 点 |
\(x\) |
\(y\) |
| 0 |
|
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| 1 |
|
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| 2 |
|
|
| 3 |
|
|
| 4 |
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| 5 |
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| 6 |
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| 7 |
|
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| 8 |
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|
課題用方眼画像
課題1解説
Excelを使った座標の計算
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^2\boldsymbol{P}_0\)
\(+2t(1-t)\boldsymbol{P}_1\)
\(+t^2\boldsymbol{P}_2\)
について \(t\) の 0～1の範囲の1/8刻みの値について \(\boldsymbol{C}\) の \(x, y\) を求めればいいので、まずB, C列に \(t\) と \(1-t\) の値を入れ、
H, I列に書いた \(\boldsymbol{P}_0\) ～ \(\boldsymbol{P}_2\) の値を参照して計算します。
D2セルに
=$C2^2*$H$2+2*$B2*$C2*$H$3+$B2^2*$H$4
E2セルに
=$C2^2*$I$2+2*$B2*$C2*$I$3+$B2^2*$I$4
として下の行にコピーすれば座標が計算できます。
あとは「挿入」→「グラフ」→「散布図」でこのようにだいたいどういう図になるかが見られます。
本来のベジェ曲線の形 (図を描く前にExcelの図がこれとだいたい一致しているか確認してください)
動画の解説を参照
3次ベジェ曲線とは4つの点で決まる曲線で、原点からそれらの点に向かうベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_1\), \(\boldsymbol{P}_2\),
\(\boldsymbol{P}_3\) とすると、
\(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_3\) の終点が曲線の端点となり、\(\boldsymbol{P}_1\), \(\boldsymbol{P}_2\)
が曲線の曲がり方を決定します。
原点から曲線上の点に向かうベクトルは0～1の範囲の変数 \(t\) をパラメータとして
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^3\boldsymbol{P}_0\)
\(+3t(1-t)^2\boldsymbol{P}_1\)
\(+3t^2(1-t)\boldsymbol{P}_2\)
\(+t^3\boldsymbol{P}_3\)
のように表されます。
曲線は \(\boldsymbol{P}_0\), \(\boldsymbol{P}_1\) の終点を結ぶ線分 (赤),
\(\boldsymbol{P}_2\), \(\boldsymbol{P}_3\) の終点を結ぶ線分 (青) と端点でなめらかに接します。
より高次のベジェ曲線も同様に考えられます。
4次のベジェ曲線は \(\boldsymbol{P}_0\) ～ \(\boldsymbol{P}_4\) を使って
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^4\boldsymbol{P}_0\)
\(+4t(1-t)^3\boldsymbol{P}_1\)
\(+6t^2(1-t)^2\boldsymbol{P}_2\)
\(+4t^3(1-t)\boldsymbol{P}_3\)
\(+t^4\boldsymbol{P}_4\)
5次のベジェ曲線は \(\boldsymbol{P}_0\) ～ \(\boldsymbol{P}_5\) を使って
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^5\boldsymbol{P}_0\)
\(+5t(1-t)^4\boldsymbol{P}_1\)
\(+10t^2(1-t)^3\boldsymbol{P}_2\)
\(+10t^3(1-t)^2\boldsymbol{P}_3\)
\(+5t^4(1-t)\boldsymbol{P}_4\)
\(+t^5\boldsymbol{P}_5\)
一般に \((n\geq 1)\) として \(n\) 次のベジェ曲線は \(\boldsymbol{P}_0\) ～ \(\boldsymbol{P}_n\) を使って
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=\displaystyle \sum_{i=0}^n\)
\(_n C_i\)
\(t^i(1-t)^{n-i} \)
\(\boldsymbol{P}_i\)
のように表されます。
\(\boldsymbol{P}_0\) = (
),
\(\boldsymbol{P}_1\) = (
),
\(\boldsymbol{P}_2\) = (
),
\(\boldsymbol{P}_3\) = (
)
の3次ベジェ曲線の近似である8つのセグメントからなる折れ線の図を描いてください。
図には概要の赤・緑・青の線分も入れてください。
折れ線の端点、中間点の座標は四捨五入して小数第2位までにし、課題1と同じフォーマットの表にまとめてください。
課題用方眼画像
課題2解説
Excelを使った座標の計算
\(\boldsymbol{C}(t)\)
\(=(1-t)^3\boldsymbol{P}_0\)
\(+3t(1-t)^2\boldsymbol{P}_1\)
\(+3t^2(1-t)\boldsymbol{P}_2\)
\(+t^3\boldsymbol{P}_3\)
について課題1と同様に座標を計算したいので、課題1用のExcelのタブを複製して書き換えます。
まず \(\boldsymbol{P}_0\) ～ \(\boldsymbol{P}_2\) の座標値を書き換え、H5, I5セルに \(\boldsymbol{P}_3\) の値を追加します。
D2セルは
=$C2^3*$H$2+3*$B2*$C2^2*$H$3+3*$B2^2*$C2*$H$4+$B2^3*$H$5
E2セルは
=$C2^3*$I$2+3*$B2*$C2^2*$I$3+3*$B2^2*$C2*$I$4+$B2^3*$I$5
のように変更して下の行にコピーすれば座標が計算できます。
あとは「挿入」→「グラフ」→「散布図」でこのようにだいたいどういう図になるかが見られます。
本来のベジェ曲線の形 (図を描く前にExcelの図がこれとだいたい一致しているか確認してください)