第2回 復習 (行列)
行列の定義・書き方・和と差
概要
動画の解説を参照
行列にかかわる用語の定義を以下に列挙します。
2行3列の行列の例
\( \boldsymbol{A} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \)
2行2列の正方行列の例
\( \boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)
3列の行ベクトルの例
\( \boldsymbol{c}= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \end{pmatrix} \) または \( \boldsymbol{c}= \begin{pmatrix} c_{11}, & c_{12}, & c_{13} \end{pmatrix} \)
3行の列ベクトルの例
\( \boldsymbol{d}= \begin{pmatrix} d_{11} \\ d_{21} \\ d_{31} \end{pmatrix} \)
手書きでの大文字の太字の書き方を以下に示します。
行・列の数が同じ行列どうしであれば行列の和・差を求めることができます。
\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\) の \(i\) 行目, \(j\) 列目の要素はそれぞれの行列の同じ場所の要素の和、
\(\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\) の \(i\) 行目, \(j\) 列目の要素はそれぞれの行列の同じ場所の要素の差で求められます。
\(c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}\)
\(d_{ij} = a_{ij}-b_{ij}\)
行列にかかわる用語の定義を以下に列挙します。
- 行列 : 数や文字 (変数) を縦横に並べたもの。大文字の太字で表す
- 要素 : 行列のそれぞれの数字 (または文字)。行列の文字と同じアルファベットの小文字に2つの添え字をつけて表す
- 行 : 横の並び
- 列 : 縦の並び
- 正方行列 : 行数と列数が等しい行列
- 行ベクトル : 列数が1の行列。小文字の太字で表す
- 列ベクトル : 行数が1の行列。小文字の太字で表す
2行3列の行列の例
\( \boldsymbol{A} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \)
2行2列の正方行列の例
\( \boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)
3列の行ベクトルの例
\( \boldsymbol{c}= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \end{pmatrix} \) または \( \boldsymbol{c}= \begin{pmatrix} c_{11}, & c_{12}, & c_{13} \end{pmatrix} \)
3行の列ベクトルの例
\( \boldsymbol{d}= \begin{pmatrix} d_{11} \\ d_{21} \\ d_{31} \end{pmatrix} \)
手書きでの大文字の太字の書き方を以下に示します。
行・列の数が同じ行列どうしであれば行列の和・差を求めることができます。
\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\) の \(i\) 行目, \(j\) 列目の要素はそれぞれの行列の同じ場所の要素の和、
\(\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\) の \(i\) 行目, \(j\) 列目の要素はそれぞれの行列の同じ場所の要素の差で求められます。
\(c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}\)
\(d_{ij} = a_{ij}-b_{ij}\)
課題1
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
以下の2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) について、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\), \(\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\) を求めてください。
課題1ヒント
以下の2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) について、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\), \(\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\) を求めてください。
\(\boldsymbol{A}=\Big{(}\)
\(\Big{)}\)
\(\boldsymbol{B}=\Big{(}\)
\(\Big{)}\)
課題1ヒント
行列の積
概要
動画の解説を参照
2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) の積 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) の要素は以下のようにして求められます。
\( c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1} a_{ik}b_{kj} \)
例えば
\( \boldsymbol{A} =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \) \( \boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 3\\ \end{pmatrix} \)
なら、
\(c_{11}\) \(=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\) \(=3\times1+0\times(-2)\) \(=3\)
\(c_{12}\) \(=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\) \(=3\times2+0\times3\) \(=6\)
\(c_{21}\) \(=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}\) \(=(-2)\times1+1\times(-2)\) \(=-4\)
\(c_{22}\) \(=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\) \(=(-2)\times2+1\times3\) \(=-1\)
より、
\( \boldsymbol{C} =\begin{pmatrix} 3 & 6\\ -4 & -1 \end{pmatrix} \)
となります。一般に、行列の積は順序が逆になると別の結果になります。
2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) の積 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) の要素は以下のようにして求められます。
\( c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1} a_{ik}b_{kj} \)
例えば
\( \boldsymbol{A} =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \) \( \boldsymbol{B} =\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 3\\ \end{pmatrix} \)
なら、
\(c_{11}\) \(=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\) \(=3\times1+0\times(-2)\) \(=3\)
\(c_{12}\) \(=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\) \(=3\times2+0\times3\) \(=6\)
\(c_{21}\) \(=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}\) \(=(-2)\times1+1\times(-2)\) \(=-4\)
\(c_{22}\) \(=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\) \(=(-2)\times2+1\times3\) \(=-1\)
より、
\( \boldsymbol{C} =\begin{pmatrix} 3 & 6\\ -4 & -1 \end{pmatrix} \)
となります。一般に、行列の積は順序が逆になると別の結果になります。
課題2
課題1の行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) について、\(\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\),
\(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。
課題2ヒント
計算過程も書いてください。
課題2ヒント
同次表現による平行移動・スケール変換・回転
概要
動画の解説を参照
あるベクトルの成分を \((x, y, z)\)、それに変換を加えて得られるベクトルの成分を \((x', y', z')\) とし、これらを列ベクトル
\( \boldsymbol{r} \equiv \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} \) と \( \boldsymbol{r}' \equiv \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{pmatrix} \)
で表すと、平行移動・スケール変換・回転はすべて4行4列の行列を左から \(\boldsymbol{r}\) にかけることで表せます。このような表し方を同次表現といいます。
ひとつの変換では列ベクトルに左から行列をかけるので、複数の変換を組み合わせる場合は先に行う変換が右側、あとから行う変換が左側になります。
あるベクトルの成分を \((x, y, z)\)、それに変換を加えて得られるベクトルの成分を \((x', y', z')\) とし、これらを列ベクトル
\( \boldsymbol{r} \equiv \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} \) と \( \boldsymbol{r}' \equiv \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{pmatrix} \)
で表すと、平行移動・スケール変換・回転はすべて4行4列の行列を左から \(\boldsymbol{r}\) にかけることで表せます。このような表し方を同次表現といいます。
「\(\boldsymbol{t}=(t_x, t_y, t_z)\) の平行移動」(\(x\) 方向に \(t_x\), \(y\) 方向に \(t_y\), \(z\) 方向に \(t_z\) の移動)
は
\( \boldsymbol{T}( \boldsymbol{t} ) \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{T}( \boldsymbol{t} )\boldsymbol{r} \) となります。
\( \boldsymbol{T}( \boldsymbol{t} ) \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{T}( \boldsymbol{t} )\boldsymbol{r} \) となります。
「\(\boldsymbol{s}=(s_x, s_y, s_z)\) のスケール変換」(\(x\) 方向に \(s_x\) 倍, \(y\) 方向に \(s_y\) 倍, \(z\) 方向に \(s_z\) 倍にする変換)
は
\( \boldsymbol{S}( \boldsymbol{s} ) \equiv \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{S}( \boldsymbol{s} )\boldsymbol{r} \) となります。
\( \boldsymbol{S}( \boldsymbol{s} ) \equiv \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{S}( \boldsymbol{s} )\boldsymbol{r} \) となります。
「\(x\) 軸を中心として反時計まわりに \(\phi\) 回転させる変換」は
\( \boldsymbol{R}_x ( \phi ) \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi & 0\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_x ( \phi )\boldsymbol{r} \) となります。
\( \boldsymbol{R}_x ( \phi ) \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi & 0\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_x ( \phi )\boldsymbol{r} \) となります。
「\(y\) 軸を中心として反時計まわりに \(\psi\) 回転させる変換」は
\( \boldsymbol{R}_y ( \psi ) \equiv \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_y ( \psi )\boldsymbol{r} \) となります。
\( \boldsymbol{R}_y ( \psi ) \equiv \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_y ( \psi )\boldsymbol{r} \) となります。
「\(z\) 軸を中心として反時計まわりに \(\theta\) 回転させる変換」は
\( \boldsymbol{R}_z ( \theta ) \equiv \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_z ( \theta )\boldsymbol{r} \) となります。
これらを組み合わせれば、「～したあとで～して～する変換」のような複雑な変換もできます。\( \boldsymbol{R}_z ( \theta ) \equiv \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) として \( \boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}_z ( \theta )\boldsymbol{r} \) となります。
ひとつの変換では列ベクトルに左から行列をかけるので、複数の変換を組み合わせる場合は先に行う変換が右側、あとから行う変換が左側になります。
課題3
\(\boldsymbol{r}'=\)
\(\boldsymbol{r}\) という変換が意味するものを言葉で書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題3ヒント
単位行列・行列式・逆行列
概要
動画の解説を参照
単位行列
正方行列の一種で、対角成分 (「行目」と「列目」の数が等しい要素) がすべて1で、それ以外の要素がすべて0のもののことです。
例えば2行2列の単位行列は
\( \boldsymbol{E}_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
3行3列の単位行列は
\( \boldsymbol{E}_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
です (一般に、n行n列の単位行列は \(\boldsymbol{E}_n\) と書きます)。
正方行列の一種で、対角成分 (「行目」と「列目」の数が等しい要素) がすべて1で、それ以外の要素がすべて0のもののことです。
例えば2行2列の単位行列は
\( \boldsymbol{E}_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
3行3列の単位行列は
\( \boldsymbol{E}_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
です (一般に、n行n列の単位行列は \(\boldsymbol{E}_n\) と書きます)。
行列式
もとの行列の文字に絶対値記号をつけて表します。
2行2列なら
\(|\boldsymbol{A}|\equiv a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
3行3列なら
\(|\boldsymbol{A}|\equiv\) \( a_{11}a_{22}a_{33} \) \( +a_{12}a_{23}a_{31} \) \( +a_{13}a_{21}a_{32} \) \( -a_{13}a_{22}a_{31} \) \( -a_{11}a_{23}a_{32} \) \( -a_{12}a_{21}a_{33} \)
と定義されます。この2つのケースでは「右下がり方向にかけたものの和」－「左下がり方向にかけたものの和」(サラスの公式) で覚えられますが、4行4列以上になるともっと複雑になります。
もとの行列の文字に絶対値記号をつけて表します。
2行2列なら
\(|\boldsymbol{A}|\equiv a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
3行3列なら
\(|\boldsymbol{A}|\equiv\) \( a_{11}a_{22}a_{33} \) \( +a_{12}a_{23}a_{31} \) \( +a_{13}a_{21}a_{32} \) \( -a_{13}a_{22}a_{31} \) \( -a_{11}a_{23}a_{32} \) \( -a_{12}a_{21}a_{33} \)
と定義されます。この2つのケースでは「右下がり方向にかけたものの和」－「左下がり方向にかけたものの和」(サラスの公式) で覚えられますが、4行4列以上になるともっと複雑になります。
逆行列
もとの行列と積をとったものが単位行列になるもののことです。
2行2列なら
\( \boldsymbol{A}^{-1}\equiv\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}}\) \( \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \)
3行3列の場合は、
\(\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) から特定の行と列を取り除いて添え字の和が奇数のときにマイナスをつけた行列 (余因子)
\(\boldsymbol{A}_{11}\equiv \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{12}\equiv -\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{13}\equiv \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{A}_{21}\equiv -\begin{pmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{22}\equiv \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{23}\equiv -\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{A}_{31}\equiv \begin{pmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{32}\equiv -\begin{pmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{33}\equiv \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)
を使って
\( \boldsymbol{A}^{-1} \equiv \) \( \Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}_{11}| & |\boldsymbol{A}_{21}| & |\boldsymbol{A}_{31}|\\ |\boldsymbol{A}_{12}| & |\boldsymbol{A}_{22}| & |\boldsymbol{A}_{32}|\\ |\boldsymbol{A}_{13}| & |\boldsymbol{A}_{23}| & |\boldsymbol{A}_{33}| \end{pmatrix} \)
で求められます (最後の式は普通の行列の「行」「列」と縦横の添え字が逆であることに注意)。
もとの行列と積をとったものが単位行列になるもののことです。
2行2列なら
\( \boldsymbol{A}^{-1}\equiv\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}}\) \( \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \)
3行3列の場合は、
\(\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) から特定の行と列を取り除いて添え字の和が奇数のときにマイナスをつけた行列 (余因子)
\(\boldsymbol{A}_{11}\equiv \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{12}\equiv -\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{13}\equiv \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{A}_{21}\equiv -\begin{pmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{22}\equiv \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{23}\equiv -\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{A}_{31}\equiv \begin{pmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{32}\equiv -\begin{pmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{pmatrix} \), \(\boldsymbol{A}_{33}\equiv \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)
を使って
\( \boldsymbol{A}^{-1} \equiv \) \( \Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}_{11}| & |\boldsymbol{A}_{21}| & |\boldsymbol{A}_{31}|\\ |\boldsymbol{A}_{12}| & |\boldsymbol{A}_{22}| & |\boldsymbol{A}_{32}|\\ |\boldsymbol{A}_{13}| & |\boldsymbol{A}_{23}| & |\boldsymbol{A}_{33}| \end{pmatrix} \)
で求められます (最後の式は普通の行列の「行」「列」と縦横の添え字が逆であることに注意)。
課題4
以下の行列 \(\boldsymbol{A}\) の逆行列 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) を求めてください。計算過程も書いてください。
課題4ヒント
\(\boldsymbol{A}=\Bigg{(}\)
\(\Bigg{)}\)