動画の解説を参照
複素数では虚数単位は \(i\) という1種類のものだけでしたが、
四元数 (しげんすう) では3種類の虚数単位 \(i, j, k\) を考えます。
これらは以下のような性質を持ちます。
\(
\begin{eqnarray}
i^2 &=& j^2 = k^2 = -1&&\cdots(1)\\
ij &=& -ji = k&&\cdots(2)\\
jk &=& -kj = i&&\cdots(3)\\
ki &=& -ik = j&&\cdots(4)
\end{eqnarray}
\)
特に、異なった種類の虚数単位どうしの積は、順番を逆にすると符号が逆になることに注意してください。
一般の四元数は4つの実数 \(s, x, y, z\) でこのように表されます (四元数は太字で書きます)。
\(\boldsymbol{q} = s + xi + yj + zk\)
\(\boldsymbol{q}\) を以下のように略記することもできます。
\(\boldsymbol{q} = (s, x, y, z)\)
このうち、それぞれの部分を以下のように呼びます。
| 名称 |
成分 |
| 実部 |
\(s\) |
| 虚部 |
\(xi + yj + zk\) |
| \(i\) 成分 |
\(x\) |
| \(j\) 成分 |
\(y\) |
| \(k\) 成分 |
\(z\) |
四元数どうしの足し算・引き算の結果は、実部、\(i\)～\(k\) 成分どうしでそれぞれ足し算・引き算すれば得られます。
つまり \(\boldsymbol{q}_1 = (s_1, x_1, y_1, z_1)\), \(\boldsymbol{q}_2 = (s_2, x_2, y_2, z_2)\) なら
\(\boldsymbol{q}_1 +\boldsymbol{q}_2= (s_1+s_2, x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)\)
\(\boldsymbol{q}_1 -\boldsymbol{q}_2= (s_1-s_2, x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)\)
です。
四元数の英語名
四元数は英語では quaternion と言います。
カタカナでは「クォータニオン」と書かれることが多いですが、
本来の発音とはかけ離れています。
発音記号では「kwətə'ːrniən」で、無理にカタカナで書くなら「クァターニオン」に近いです。
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
\(\boldsymbol{q}_1\)
, \(\boldsymbol{q}_2\)
のときの
\(\boldsymbol{q}_1 +\boldsymbol{q}_2\) を求めてください。
課題1解説
課題1 と同じ \(\boldsymbol{q}_1\), \(\boldsymbol{q}_2\)
について、
\(\boldsymbol{q}_1 -\boldsymbol{q}_2\) を求めてください。
課題2解説
動画の解説を参照
四元数の積はちょっと複雑です。
前項の (1)～(4) 式のように \(i, j, k\) どうしの積は特殊なので、略記せずに書いて計算します。
\(\boldsymbol{q}_1 = s_1 + x_1i + y_1j + z_1k\)
\(\boldsymbol{q}_2 = s_2 + x_2i + y_2j + z_2k\)
の場合、これらの積は
\(\hspace{10pt}\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_2\)
\(=(s_1 + x_1i + y_1j + z_1k)\)
\((s_2 + x_2i + y_2j + z_2k)\)
\(=s_1s_2+x_1x_2i^2+y_1y_2j^2+z_1z_2k^2\)
\(\hspace{10pt}+(s_1x_2+s_2x_1)i\)
\(+(s_1y_2+s_2y_1)j\)
\(+(s_1z_2+s_2z_1)k\)
\(\hspace{10pt}+x_1y_2ij+y_1x_2ji\)
\(+y_1z_2jk+z_1y_2kj\)
\(+z_1x_2ki+x_1z_2ik\)
\(=s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\)
\(\hspace{10pt}+(s_1x_2+s_2x_1)i\)
\(+(s_1y_2+s_2y_1)j\)
\(+(s_1z_2+s_2z_1)k\)
\(\hspace{10pt}+(x_1y_2-y_1x_2)k\)
\(+(y_1z_2-z_1y_2)i\)
\(+(z_1x_2-x_1z_2)j\)
\(=s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\)
\(\hspace{10pt}+(s_1x_2+s_2x_1+y_1z_2-z_1y_2)i\)
\(\hspace{10pt}+(s_1y_2+s_2y_1+z_1x_2-x_1z_2)j\)
\(\hspace{10pt}+(s_1z_2+s_2z_1+x_1y_2-y_1x_2)k\)・・・(5)
のようになります。
これで実部と \(i\)～\(k\) 成分が求められましたが、このままではかなり複雑です。
そこでもう一つの略記法を導入します。
\(\boldsymbol{q}_1 = s_1 + x_1i + y_1j + z_1k = (s_1, \boldsymbol{v}_1)\)
\(\boldsymbol{q}_2 = s_2 + x_2i + y_2j + z_2k = (s_2, \boldsymbol{v}_2)\)
ここで \(\boldsymbol{v}_1=(x_1, y_1, z_1)\), \(\boldsymbol{v}_2=(x_2, y_2, z_2)\) は3次元のベクトルです。
これを使うと \(\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_2\) の実部は
\(s_1s_2 - \boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{v}_2\)
\(i, j, k\) 成分はそれぞれ
\(s_1\boldsymbol{v}_2+s_2\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{v}_2\)
というベクトルの \(x, y, z\) 成分であることがわかります。つまり
\(\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_2 = (s_1s_2 -
\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{v}_2,s_1\boldsymbol{v}_2+s_2\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{v}_2)\)・・・(6)
という形にまとめられます。
\(\boldsymbol{q}_1\) と \(\boldsymbol{q}_2\) の順番を逆にして積を計算すると、(6) で 1 と 2 を入れ替えて
\(\boldsymbol{q}_2\boldsymbol{q}_1 = (s_2s_1 -
\boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{v}_1,s_2\boldsymbol{v}_1+s_1\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_2\times\boldsymbol{v}_1)\)
となります。このうち実部はスカラーの積とベクトルの内積なので結局同じものです。
\(s_2s_1 - \boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{v}_1 = s_1s_2 - \boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{v}_2\)
ベクトル部分の第1項＋第2項も単に順番が入れ替わっただけで同じものです。
\(s_2\boldsymbol{v}_1+s_1\boldsymbol{v}_2 = s_1\boldsymbol{v}_2+s_2\boldsymbol{v}_1\)
しかし、最後の外積の部分だけは別で、このように符号が逆の値になってしまいます。
\(\boldsymbol{v}_2\times\boldsymbol{v}_1 = -\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{v}_2\)
つまり、
四元数はかける順番が違うと結果が変わってしまうということです。
次回以降詳しくやりますが、四元数は3次元での回転と大きな関わりがあります。
(前期の幾何学で見たように、3次元での回転の組み合わせは順番が変わると結果が変わります)
課題1 と同じ \(\boldsymbol{q}_1\), \(\boldsymbol{q}_2\)
について、
\(\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_2\) を求めてください。
課題3解説