第3回 課題解答

課題1

\((A+B)C\) のベン図を描いてください (\((A+B)C\) にあたる部分を塗りつぶしてください)。
解答
\(A+B\) と \(C\) のベン図を描き、その論理積、つまり両者で共通して塗りつぶされている部分を塗る。
(一番右の図を描くだけでよい)
=
\(A+B\) \(C\) \((A+B)C\)

課題2

ベン図を使って、分配則 \(A+(B\cdot C) = (A+B)\cdot(A+C)\) を確認してください。

解答
左辺のベン図は
+ =
\(A\) \(B\cdot C\) \(A+(B\cdot C)\)

右辺のベン図は
=
\(A+B\) \(A+C\) \((A+B)\cdot(A+C)\)
のようになるので、両者が同じものであることがわかる。

課題3

前回の課題7の真理値表から、論理式を主乗法標準形で求めてください。
\(( )_{16}\) \(A\) \(B\) \(C\) \(D\) \(Y\)
\(\rm{0}\) 0 0 0 0 0
\(\rm{1}\) 0 0 0 1 0
\(\rm{2}\) 0 0 1 0 1
\(\rm{3}\) 0 0 1 1 1
\(\rm{4}\) 0 1 0 0 1
\(\rm{5}\) 0 1 0 1 1
\(\rm{6}\) 0 1 1 0 1
\(\rm{7}\) 0 1 1 1 0
\(\rm{8}\) 1 0 0 0 1
\(\rm{9}\) 1 0 0 1 1
\(\rm{A}\) 1 0 1 0 1
\(\rm{B}\) 1 0 1 1 1
\(\rm{C}\) 1 1 0 0 1
\(\rm{D}\) 1 1 0 1 1
\(\rm{E}\) 1 1 1 0 1
\(\rm{F}\) 1 1 1 1 1

解答
\(Y\) が0になるのは \(A, B, C, D\) が (0 0 0 0), (0 0 0 1), (0 1 1 1) の3つの組み合わせのときである。

(0 0 0 0)でないという条件の論理式は \(A+B+C+D=1\)
(0 0 0 1)でないという条件の論理式は \(A+B+C+\bar{D}=1\)
(0 1 1 1)でないという条件の論理式は \(A+\bar{B}+\bar{C}+\bar{D}=1\)

これらがすべて満たされるという条件の論理式、つまり \(Y\) は、3つのものの論理積なので
\(Y=(A+B+C+D)\) \((A+B+C+\bar{D})\) \((A+\bar{B}+\bar{C}+\bar{D})\)

となる。

課題4

\(Y=\bar{A}\bar{B}C + \bar{A}BC +A\bar{B}C + ABC\) で表される論理式の真理値表を作ってください。
解答
論理式の中のそれぞれの項 (論理積) が1になる入力の組み合わせを探す。その組み合わせでは \(Y\) の値は1になる。

\(\bar{A}\bar{B}C\) は 入力が (0 0 1) なら1になる
\(\bar{A}BC\) は 入力が (0 1 1) なら1になる
\(A\bar{B}C\) は 入力が (1 0 1) なら1になる
\(ABC\) は 入力が (1 1 1) なら1になる

よって、真理値表は以下のようになる。
\(A\) \(B\) \(C\) \(Y\)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

課題5

\(Y=(\bar{A}+\bar{B}+C)\)\((\bar{A}+B+C)\)\((A+\bar{B}+C)\)\((A+B+C)\) で表される論理式の真理値表を作ってください。
解答
論理式の中のそれぞれの論理和が1になる入力の組み合わせを探す。その組み合わせでは \(Y\) の値は0になる。

\(\bar{A}+\bar{B}+C\) は 入力が (1 1 0) でなければ1になる
\(\bar{A}+B+C\) は 入力が (1 0 0) でなければ1になる
\(A+\bar{B}+C\) は 入力が (0 1 0) でなければ1になる
\(A+B+C\) は 入力が (0 0 0) でなければ1になる

よって、真理値表は以下のようになる。
\(A\) \(B\) \(C\) \(Y\)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1