動画の解説を参照
前回学んだ基本ゲートを組み合わせれば複雑な動作をする回路を作ることができます。
それを効率よく考えるには、
ブール代数が役立ちます。
普通の加減乗除と似たところもありますが、ブール代数特有の演算もあります。
用語
- 公理 : 論証なしで決められたルール
- 定理 : 公理から導き出される法則
- 双対 : 0↔1, AND↔ORを同時に置き換えて得られる等式 (以下のⓐとⓑの式どうしの関係)
ブール演算の公理
- 論理演算
ⓐ
\(\overline{0}=1\)
\(0\cdot 0 = 0\), \(0\cdot 1 = 1\cdot 0 = 0\), \(1\cdot 1 = 1\)
\(A\cdot 0 = 0\), \(A\cdot 1 = A\), \(A\cdot\overline{A} = 0\)
ⓑ
\(\overline{1}=0\)
\(1+1=1\), \(1+0=0+1=1\), \(0+0=0\)
\(A+1=1\), \(A+0=A\), \(A+\overline{A}=1\)
- 交換則
ⓐ \(A\cdot B = B\cdot A\)
ⓑ \(A+B = B+A\)
- 分配則
ⓐ \(A\cdot(B+C)=A\cdot B + A\cdot C\)
ⓑ \(A+B\cdot C = (A+B)\cdot(A+C)\)
ブール演算の定理
- べき等則
ⓐ \(A\cdot A=A\)
ⓑ \(A+A=A\)
- 二重否定
\(\overline{\overline{A}}=A\)
- 結合則
ⓐ \(A\cdot(B\cdot C) = (A\cdot B)\cdot C\)
ⓑ \(A+(B+C) = (A+B)+C\)
- 吸収則
ⓐ \(A\cdot(A+B)=A\), \(A+A\cdot B = A\)
ⓑ \(A\cdot(\overline{A}+B) = A\cdot B\), \(A+(\overline{A}\cdot B) = A + B\)
- ド・モルガンの定理
ⓐ \(\overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
ⓑ \(\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
ベン図を使って
\(A\cdot(B+C)=A\cdot B + A\cdot C\)
\(A+B\cdot C = (A+B)\cdot(A+C)\)
\(A\cdot(A+B)=A\)
\(A+A\cdot B = A\)
\(A\cdot(\overline{A}+B) = A\cdot B\)
\(A+\overline{A}\cdot B = A + B\)
が成り立つことを確認してください。
課題1解説
動画の解説を参照
主加法標準形とは、たとえば
\(Y=ABC+\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)
のように、論理式が「入力どうしの論理積」の「論理和」で表された形のもののことです。
以下のルールに従えば、真理値表から主加法標準形の論理式を求めることができます。
- 真理値表で \(Y\) が1の行だけを見る
- 値が1のものはそのまま、0のものにはバーをつけて入力の論理積をつくる
- それらの論理和をとる
逆に、主加法標準形の論理式がある場合は、以下の手順で真理値表を求めることができます。
- それぞれの項のバーがないものを1, バーがあるものを0に読み替える
- 真理値表の \(Y\) の列で、上記の組み合わせに対応する部分を1にする
- 残りの部分を0にする
以下の真理値表の \(Y\) の論理式を主加法標準形で求めてください。
※ 結果を簡単化できる場合でも簡単化はせず、主加法標準形で求めた形のままのものを書いてください。
| \(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(Y\) |
| 0 |
0 |
0 |
|
| 0 |
0 |
1 |
|
| 0 |
1 |
0 |
|
| 0 |
1 |
1 |
|
| 1 |
0 |
0 |
|
| 1 |
0 |
1 |
|
| 1 |
1 |
0 |
|
| 1 |
1 |
1 |
|
課題2解説
以下の論理式の真理値表を書いてください。
\(Y=\)
\(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)
\(\bar{A}\bar{B}C\)
\(\bar{A}B\bar{C}\)
\(\bar{A}BC\)
\(A\bar{B}\bar{C}\)
\(A\bar{B}C\)
\(AB\bar{C}\)
\(ABC\)
真理値表はこのフォーマットで書いてください。
| \(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(Y\) |
| 0 |
0 |
0 |
|
| 0 |
0 |
1 |
|
| 0 |
1 |
0 |
|
| 0 |
1 |
1 |
|
| 1 |
0 |
0 |
|
| 1 |
0 |
1 |
|
| 1 |
1 |
0 |
|
| 1 |
1 |
1 |
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課題3解説
動画の解説を参照
主乗法標準形とは、たとえば
\(Y=(A+B+C)(\bar{A}+\bar{B}+\bar{C})\)
のように、論理式が「入力どうしの論理和」の「論理積」で表された形のもののことです。
以下のルールに従えば、真理値表から主乗法標準形の論理式を求めることができます。
- 真理値表で \(Y\) が0の行だけを見る
- 値が0のものはそのまま、1のものにはバーをつけて入力の論理和をつくる
- それらの論理積をとる
逆に、主乗法標準形の論理式がある場合は、以下の手順で真理値表を求めることができます。
- それぞれの項のバーがないものを0, バーがあるものを1に読み替える
- 真理値表の \(Y\) の列で、上記の組み合わせに対応する部分を0にする
- 残りの部分を1にする
以下の真理値表の \(Y\) の論理式を主乗法標準形で求めてください。
結果を簡単化できる場合でも簡単化はせず、主乗法標準形で求めた形のままのものを書いてください。
| \(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(Y\) |
| 0 |
0 |
0 |
|
| 0 |
0 |
1 |
|
| 0 |
1 |
0 |
|
| 0 |
1 |
1 |
|
| 1 |
0 |
0 |
|
| 1 |
0 |
1 |
|
| 1 |
1 |
0 |
|
| 1 |
1 |
1 |
|
課題4解説
以下の論理式の真理値表を書いてください。
\(Y=\)
\((A+B+C)\)
\((A+B+\bar{C})\)
\((A+\bar{B}+C)\)
\((A+\bar{B}+\bar{C})\)
\((\bar{A}+B+C)\)
\((\bar{A}+B+\bar{C})\)
\((\bar{A}+\bar{B}+C)\)
\((\bar{A}+\bar{B}+\bar{C})\)
真理値表は課題3と同じフォーマットで書いてください。
課題5解説
