第12回 課題解答

課題1

ネガティブエッジトリガ型の JK-FF (左から順にA, B, C, D) で構成される同期式10進カウンタのクロックの立ち下がり後の出力を \(Q_{(A)}\), \(Q_{(B)}\), \(Q_{(C)}\), \(Q_{(D)}\)、立ち下がり前の出力を \(Q_A\), \(Q_B\), \(Q_C\), \(Q_D\) とし、それらの真理値表を完成させてください。
解答
\(Q\) は \(Q_0\) より1大きい値になるようにすればよい。ただし、9の次は0に戻るようにするため、(0 0 0 0) とする。
\(CK\) のカウント \(Q_0\) \(Q\)
\(Q_D\) \(Q_C\) \(Q_B\) \(Q_A\) \(Q_{(D)}\) \(Q_{(C)}\) \(Q_{(B)}\) \(Q_{(A)}\)
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0 0 1 1
3 0 0 1 1 0 1 0 0
4 0 1 0 0 0 1 0 1
5 0 1 0 1 0 1 1 0
6 0 1 1 0 0 1 1 1
7 0 1 1 1 1 0 0 0
8 1 0 0 0 1 0 0 1
9 1 0 0 1 0 0 0 0

課題2

課題1の \(Q_{(A)}\), \(Q_{(B)}\), \(Q_{(C)}\), \(Q_{(D)}\) を、\(Q_A\), \(Q_B\), \(Q_C\), \(Q_D\) で表した式を書いてください。
カルノー図を使って、簡単化した形で書いてください。

解答
\(Q_{(A)}\), \(Q_{(B)}\), \(Q_{(C)}\), \(Q_{(D)}\) のカルノー図は以下のようになる。

\(Q_{(A)}=\overline{Q}_D\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)



\(Q_{(B)}=\overline{Q}_DQ_B\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_D\overline{Q}_BQ_A\)



\(Q_{(C)}=\overline{Q}_D\overline{Q}_CQ_BQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_B\)



\(Q_{(D)}=Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_DQ_CQ_BQ_A\)

課題3

特性方程式を使って、課題1のカウンタの JK-FFの入力 \(J_A\), \(K_A\), \(J_B\), \(K_B\), \(J_C\), \(K_C\), \(J_D\), \(K_D\) を求めてください。
導出過程も書いてください。

解答
AのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(A)}=\overline{K}_AQ_A+J_A\overline{Q}_A\)

と、課題2で求めた式を変形したもの
\(Q_{(A)}=\overline{Q}_D\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
\(\hspace{2.2em}=0\cdot Q_A\) \(+(\overline{Q}_D+\overline{Q}_C\overline{Q}_B)\overline{Q}_A\)

の \(Q_A\), \(\overline{Q}_A\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_A=0\) つまり \(K_A=1\)
\(J_A=\overline{Q}_D+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\)
となる。
BのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(B)}=\overline{K}_BQ_B+J_B\overline{Q}_B\)

と、課題2で求めた式を変形したもの
\(Q_{(B)}=\overline{Q}_DQ_B\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_D\overline{Q}_BQ_A\)
\(\hspace{2.2em}=\overline{Q}_D\overline{Q}_AQ_B\) \(+\overline{Q}_DQ_A\overline{Q}_B\)

の \(Q_B\), \(\overline{Q}_B\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_B=\overline{Q}_D\overline{Q}_A\)
\(J_B=\overline{Q}_DQ_A\)
であることがわかる。

\(K_B\) は \(\overline{K}_B\) の否定なので

\(K_B=\overline{\overline{Q}_D\overline{Q}_A}\)
となる。ド・モルガンの定理を使えば
\(K_B=\overline{\overline{Q}}_D+\overline{\overline{Q}}_A\) \(=Q_D+Q_A\) となり、

\(K_B=Q_D+Q_A\)
のように簡単化できる。
CのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(C)}=\overline{K}_CQ_C+J_C\overline{Q}_C\)

と、課題2で求めた式を変形したもの
\(Q_{(C)}=\overline{Q}_D\overline{Q}_CQ_BQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_B\)
\(\hspace{2.2em}=(\overline{Q}_D\overline{Q}_A+\overline{Q}_D\overline{Q}_B)Q_C\) \(+\overline{Q}_DQ_BQ_A\overline{Q}_C\)

の \(Q_C\), \(\overline{Q}_C\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_C=\overline{Q}_D\overline{Q}_A+\overline{Q}_D\overline{Q}_B\)
\(J_C=\overline{Q}_DQ_BQ_A\)
であることがわかる。

\(K_C\) は \(\overline{K}_C\) の否定なので

\(K_C=\overline{\overline{Q}_D\overline{Q}_A+\overline{Q}_D\overline{Q}_B}\)
となる。

\(\overline{Q}_D\) でくくって
\(K_C=\overline{\overline{Q}_D(\overline{Q}_A+\overline{Q}_B})\)
としても正解。

さらにド・モルガンの定理を使えば

\(K_C=Q_D+\overline{\overline{Q}_A+\overline{Q}_B}\) \(=Q_D+Q_AQ_B\)
となり、
\(K_C=Q_D+Q_AQ_B\) のように簡単化できる。
DのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(D)}=\overline{K}_DQ_D+J_D\overline{Q}_D\)

と、課題2で求めた式を変形したもの
\(Q_{(D)}=Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_DQ_CQ_BQ_A\)
\(\hspace{2.2em}=\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_AQ_D\) \(+Q_CQ_BQ_A\overline{Q}_D\)

の \(Q_D\), \(\overline{Q}_D\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_D=\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
\(J_D=Q_CQ_BQ_A\)
であることがわかる。

\(K_D\) は \(\overline{K}_D\) の否定なので

\(K_D=\overline{\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A}\)
となる。

ド・モルガンの定理を使えば
\(K_D=\overline{\overline{Q}_C\overline{Q}_B}+Q_A\) \(=Q_C+Q_B+Q_A\)
となり、
\(K_D=Q_C+Q_B+Q_A\) のように簡単化できる。

課題4

ネガティブエッジトリガ型の JK-FF (左から順にA, B, C, D) で構成される同期式10進ダウンカウンタのクロックの立ち下がり後の出力を \(Q_{(A)}\), \(Q_{(B)}\), \(Q_{(C)}\), \(Q_{(D)}\)、立ち下がり前の出力を \(Q_A\), \(Q_B\), \(Q_C\), \(Q_D\) とし、それらの真理値表を完成させてください。
解答
\(CK\) のカウント \(Q_0\) \(Q\)
\(Q_D\) \(Q_C\) \(Q_B\) \(Q_A\) \(Q_{(D)}\) \(Q_{(C)}\) \(Q_{(B)}\) \(Q_{(A)}\)
0 1 0 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 1
2 0 1 1 1 0 1 1 0
3 0 1 1 0 0 1 0 1
4 0 1 0 1 0 1 0 0
5 0 1 0 0 0 0 1 1
6 0 0 1 1 0 0 1 0
7 0 0 1 0 0 0 0 1
8 0 0 0 1 0 0 0 0
9 0 0 0 0 1 0 0 1

課題5

課題4の \(Q_{(A)}\), \(Q_{(B)}\), \(Q_{(C)}\), \(Q_{(D)}\) を、\(Q_A\), \(Q_B\), \(Q_C\), \(Q_D\) で表した式を書いてください。
(カルノー図は課題2と同様の形式)
解答
\(Q_{(A)}\) のカルノー図は課題2と全く同じ。

\(Q_{(A)}=\overline{Q}_D\overline{Q}_A\) \(+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)



\(Q_{(B)}=\overline{Q}_DQ_BQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\) \(+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)



\(Q_{(C)}=\overline{Q}_DQ_CQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_CQ_B\) \(+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)



\(Q_{(D)}=Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_BQ_A\) \(+\overline{Q}_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)

課題6

特性方程式を使って、課題4のカウンタの JK-FFの入力 \(J_A\), \(K_A\), \(J_B\), \(K_B\), \(J_C\), \(K_C\), \(J_D\), \(K_D\) を求めてください。

\(Q_{(A)}\) は課題1~3の回路と同じなので
\(K_A=1\)
\(J_A=\overline{Q}_D+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\)

となる。
BのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(B)}=\overline{K}_BQ_B+J_B\overline{Q}_B\)

と、課題5で求めた式を変形したもの
\(Q_{(B)}=\overline{Q}_DQ_BQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\) \(+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
\(\hspace{2.2em}=\overline{Q}_DQ_AQ_B\) \(+(\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_A+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_A)\overline{Q}_B\)

の \(Q_B\), \(\overline{Q}_B\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_B=\overline{Q}_DQ_A\)
\(J_B=\overline{Q}_DQ_C\overline{Q}_A+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_A\)
となることがわかる。

\(J_B\) は \(\overline{Q}_A\) でくくれば
\(J_B=(\overline{Q}_DQ_C+Q_D\overline{Q}_C)\overline{Q}_A\) \(=(Q_D\oplus Q_C)\overline{Q}_A\)

\(J_B=(Q_D\oplus Q_C)\overline{Q}_A\)
のように簡単化できる。

\(K_B\) は \(\overline{K}_B\) の否定なので

\(K_B=\overline{\overline{Q}_DQ_A}\)
となる。

ド・モルガンの定理を使えば
\(K_B=Q_D+\overline{Q}_A\)
のように簡単化できる。
CのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(C)}=\overline{K}_CQ_C+J_C\overline{Q}_C\)

と、課題5で求めた式を変形したもの
\(Q_{(C)}=\overline{Q}_DQ_CQ_A\) \(+\overline{Q}_DQ_CQ_B\) \(+Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
\(\hspace{2.2em}=(\overline{Q}_DQ_A+\overline{Q}_DQ_B)Q_C\) \(+Q_D\overline{Q}_B\overline{Q}_A\overline{Q}_C\)

の \(Q_C\), \(\overline{Q}_C\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_C=\overline{Q}_DQ_A+\overline{Q}_DQ_B\)
\(J_C=Q_D\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
となることがわかる。

\(K_C\) は \(\overline{K}_C\) の否定なので

\(K_C=\overline{\overline{Q}_DQ_A+\overline{Q}_DQ_B}\)
となる。

\(\overline{Q}_D\) でくくり、ド・モルガンの定理を使えば
\(K_C=\overline{\overline{Q}_D(Q_A+Q_B)}\) \(=Q_D+\overline{Q_A+Q_B}\) \(=Q_D+\overline{Q}_A\overline{Q}_B\)
つまり
\(K_C=Q_D+\overline{Q}_A\overline{Q}_B\)
のように簡単化できる。
DのJK-FFの特性方程式
\(Q_{(D)}=\overline{K}_DQ_D+J_D\overline{Q}_D\)

と、課題2で求めた式を変形したもの
\(Q_{(D)}=Q_D\overline{Q}_C\overline{Q}_BQ_A\) \(+\overline{Q}_D\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
\(\hspace{2.2em}=\overline{Q}_C\overline{Q}_BQ_AQ_D\) \(+\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\overline{Q}_D\)

の \(Q_D\), \(\overline{Q}_D\) の係数を比較すると、

\(\overline{K}_D=\overline{Q}_C\overline{Q}_BQ_A\)
\(J_D=\overline{Q}_C\overline{Q}_B\overline{Q}_A\)
となることがわかる。

\(K_D\) は \(\overline{K}_D\) の否定なので

\(K_D=\overline{\overline{Q}_C\overline{Q}_BQ_A}\)
となる。

ド・モルガンの定理を使えば、
\(K_D=\overline{\overline{Q}_C\overline{Q}_B}+\overline{Q}_A\) \(=Q_C+Q_B+\overline{Q}_A\)
つまり
\(K_D=Q_C+Q_B+\overline{Q}_A\)
のように簡単化できる。