以下の表を完成させてください。ただし \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) はどちらも単位ベクトルであるものとします。
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
| \(\theta\) |
-180 |
-150 |
-120 |
-90 |
-60 |
-30 |
0 |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
| \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) |
-1.00 |
|
|
|
|
|
1.00 |
|
|
|
|
|
-1.00 |
解答
| \(\theta\) |
-180 |
-150 |
-120 |
-90 |
-60 |
-30 |
0 |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
| \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) |
-1.00 |
-0.87 |
-0.50 |
0.00 |
0.50 |
0.87 |
1.00 |
0.87 |
0.50 |
0.00 |
-0.50 |
-0.87 |
-1.00 |
\(\boldsymbol{b}=(5, -1)\), \(\boldsymbol{c}=(3, 2)\) を線型結合で表してください。
さらに、\(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\) を図示し、線型結合で表してください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
解答
概要の \(\boldsymbol{a}\) と同様に考えれば
\(\boldsymbol{b} = 5\boldsymbol{e}_x - \boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{c} = 3\boldsymbol{e}_x +2\boldsymbol{e}_y\)
となる。
一方、\(-\boldsymbol{b}=(-5, 1)\) なので、\(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\) を図示するとこのようになる。
図から \(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b} = (-2, 3)\) であることがわかるので、これを線型結合の形で書くと
\(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b} = -2\boldsymbol{e}_x + 3\boldsymbol{e}_y\)
となる。
\(\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\) が正の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) を考え、
\(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) の始点を一致させた図を描いてください。
同様に、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\) が負の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) を考え、
\(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) の始点を一致させた図を描いてください。
これらのベクトルの成分は、自分で任意に決めてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\)、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\)
の値を求めてください。
解答例
\(\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\) が正の値になるようにするには、\(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) が互いに鋭角 (90°より小さい角)
をなすようにすればよい。
例えば \(\boldsymbol{d}=(2, 3)\), \(\boldsymbol{e}=(4, -1)\) とすれば図は以下のようになる。
これらのベクトルの内積を求めると
\(
\begin{eqnarray}
&& \boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\\
=&& 2\times4+3\times(-1)\\
=&& 8-3\\
=&& 5
\end{eqnarray}
\)
で、確かに正の値になる。
同様に、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\) が負の値になるようにするには、\(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) が互いに鈍角 (90°より大きい角)
になるようにすればよい。
例えば \(\boldsymbol{f}=(-3, 2)\), \(\boldsymbol{g}=(4, 2)\) とすれば図は以下のようになる。
これらのベクトルの内積を求めると
\(
\begin{eqnarray}
&& \boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\\
=&& -3\times4+2\times2\\
=&& -12+4\\
=&& -8
\end{eqnarray}
\)
で、確かに負の値になる。