\(\theta\) が-180～180の範囲で変わる場合に、\(\boldsymbol{a} = (1, 0)\), \(\boldsymbol{b}=(\cos(\theta), \sin(\theta))\) として、\(\theta\) に対する \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\) の大きさの表を完成させてください。
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
※ \(\boldsymbol{a}\) は図の (0, 0) から (1, 0) に向かう動かないベクトル、\(\boldsymbol{b}\) は円の中心から円周に向かうベクトルに相当します。

(表は略)

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解答

\(\theta\)	-180	-150	-120	-90	-60	-30	0	30	60	90	120	150	180
\(\left|\boldsymbol{c}\right|\)	2.00	1.93	1.73	1.41	1.00	0.52	0.00	0.52	1.00	1.41	1.73	1.93	2.00

任意のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) を考え、 それらの始点を一致させ、2つのベクトル間の角度 \(\theta\) を含めた図を描いてください。
ただし、\(\theta\) は 0°、±90°、±180°のいずれにもならないようにしてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。

また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) 間の角度 \(\theta\) の値を求め、小数部分を四捨五入してください。

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解答例
\(\boldsymbol{a} = (4, -2)\), \(\boldsymbol{b}=(-1, 5)\) とすると、図は以下のようになる。


内積は
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(= 4\times(-1)+(-2)\times=5\) \(=-4-10\) \(=-14\)

それぞれのベクトルの大きさは
\(\left|\boldsymbol{a}\right|\) \(=\sqrt{4^2+(-2)^2}\) \(=\sqrt{16+4}\) \(=\sqrt{20}\)
\(\left|\boldsymbol{b}\right|\) \(=\sqrt{(-1)^2+5^2}\) \(=\sqrt{1+25}\) \(=\sqrt{26}\)

となるので、\(\theta\) は
\(\theta\) \(=\cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\) \(=\cos^{-1}\left(\Large{\frac{-14}{\sqrt{20}\sqrt{26}}}\right)\) \(≒128\)(度)

課題2で決めたベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) を2辺とする三角形の面積を求めてください。
結果は四捨五入して小数第1位までにしてください。
結果がちょうど整数になる場合も、小数第1位まで書いてください。
計算過程も書いてください。

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解答例
課題2で求めたように
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{20}\)
\(\left|\boldsymbol{b}\right|=\sqrt{26}\)
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-14\)

なので、
\(S\) \(=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\boldsymbol{a}\right|^2\left|\boldsymbol{b}\right|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2}\) \(=\frac{1}{2}\sqrt{20\times26-(-14)^2}\) \(=9.0\)
となる。

※ この場合は正確に9になるため最後結果の直前の記号は「=」になりますが、四捨五入した場合は「≒」にする必要があります。
もっとも、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の各成分が整数であれば、小数第二位が非0になることはありません。