※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
学籍番号 入力

以下の2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) について、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) を求めてください。

---

解答
\(c_{11}=\)
\(c_{12}=\)
\(c_{13}=\)
\(c_{21}=\)
\(c_{22}=\)
\(c_{23}=\)
\(c_{31}=\)
\(c_{32}=\)
\(c_{33}=\)

なので、

座標 () にある点を、原点を中心に反時計まわりに °回転させた場合の移動先の点の座標を求めてください。
導出過程も書き、結果は四捨五入して小数第2位までにしてください。

---

解答
回転前の座標を要素とする列ベクトルを \(\boldsymbol{r}\), 回転行列を \(\boldsymbol{R}(\)\()\) とすると、回転後の座標を要素とする列ベクトル \(\boldsymbol{r}'\) は
\(\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{R}(\)\()\boldsymbol{r}\) となる。よって、移動後の座標は () となる。

軸を中心として 回転させたあとで、 軸を中心として 回転させる処理を行う行列の要素を書き下してください。導出過程も書いてください。

---

解答
\(\boldsymbol{R}_y(\psi)\boldsymbol{R}_x(\phi)\) \(= \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \) \( =\begin{pmatrix} \cos\psi & \sin\psi\sin\phi & \sin\psi\sin\phi\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ -\sin\psi & \cos\psi\sin\phi & \cos\psi\cos\phi \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{R}_z(\theta)\boldsymbol{R}_y(\psi)\) \(= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix} \) \( =\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\psi & -\sin\theta & \cos\theta\sin\psi \\ \sin\theta\cos\psi & \cos\theta & \sin\theta\sin\psi \\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{R}_x(\phi)\boldsymbol{R}_z(\theta)\) \(= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) \( =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \cos\phi\sin\theta & \cos\phi\cos\theta & -\sin\phi \\ \sin\phi\sin\theta & \sin\phi\cos\theta & \cos\phi \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{R}_x(\phi)\boldsymbol{R}_y(\psi)\) \(= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix} \) \( =\begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi \\ \sin\phi\sin\psi & \cos\phi & -\sin\phi\cos\psi \\ -\cos\phi\sin\psi & \sin\phi & \cos\phi\cos\psi \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{R}_y(\psi)\boldsymbol{R}_z(\theta)\) \(= \begin{pmatrix} \cos\psi & 0 & \sin\psi \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\psi & 0 & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) \( =\begin{pmatrix} \cos\psi\cos\theta & -\cos\psi\sin\theta & \sin\psi \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ -\sin\psi\cos\theta & \sin\psi\sin\theta & \cos\psi \end{pmatrix} \)
\(\boldsymbol{R}_z(\theta)\boldsymbol{R}_x(\phi)\) \(= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \)\( =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \)