第14回 課題解答
課題1
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
点 () を、点 () を中心として反時計回りに °
回転させた場合の移動先の座標を求めてください。
導出過程も書き、結果は四捨五入して小数第2位までにしてください。
解答
概要の最後の式
\(x''' = (x-t_x)\cos\theta-(y-t_y)\sin\theta+t_x\)
\(y''' = (x-t_x)\sin\theta+(y-t_y)\cos\theta+t_y\)
で \((x, y)=\) ,
\((t_x, t_y)=\) ,
\(\theta = \)
とすると
\(x'''\)
=
=
=
≒
\(y'''\)
=
=
=
≒
となるので、移動先の座標は ()
課題2
() を中心として、\(x\) 方向に倍、\(y\) 方向に倍のスケール変換をかけた場合の
() の移動先の点の座標を求めてください。
導出過程も書いてください。
解答
概要の最後の式
\(x' = s_x (x-t_x) + t_x\)
\(y' = s_y (y-t_y) + t_y\)
で \((x, y)=\) ,
\((t_x, t_y)=\) ,
\(s_x = \) ,
\(s_y = \)
とすると
\(x'\) =
\(y'\) =
なので、移動先の座標は
課題3
\(x, y, z\) 方向にそれぞれ \(t_x, t_y, t_z\) だけ平行移動させ、
軸を中心として反時計まわりに 回転させたあとで、
原点を中心として \(x\) 方向に \(s_x\) 倍、\(y\) 方向に \(s_y\) 倍、\(z\) 方向に \(s_z\) 倍
のスケール変換をかける処理を行ったときの、移動先の座標 \((x', y', z')\) を元の座標 \((x, y, z)\) で表した式を書いてください。導出過程も書いてください。
解答
同次形式で表すと
\(
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos\phi & -\sin\phi & 0\\
0 & \sin\phi & \cos\phi & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x\\
0 & 1 & 0 & t_y\\
0 & 0 & 1 & t_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos\phi & -\sin\phi & 0\\
0 & \sin\phi & \cos\phi & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x+t_x\\
y+t_y\\
z+t_z\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x+t_x\\
(y+t_y)\cos\phi - (z+t_z)\sin\phi\\
(y+t_y)\sin\phi + (z+t_z)\cos\phi\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x (x + t_x)\\
s_y ((y+t_y)\cos\phi - (z+t_z)\sin\phi)\\
s_z ((y+t_y)\sin\phi + (z+t_z)\cos\phi)\\
1
\end{pmatrix}
\)
なので、
\(x' = s_x (x + t_x)\)
\(y' = s_y ((y+t_y)\cos\phi - (z+t_z)\sin\phi)\)
\(z' = s_z ((y+t_y)\sin\phi + (z+t_z)\cos\phi)\)
\(
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
1
\end{pmatrix}\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)
\(
\begin{pmatrix}
\cos\psi & 0 & \sin\psi & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\sin\psi & 0 & \cos\psi & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x\\
0 & 1 & 0 & t_y\\
0 & 0 & 1 & t_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
1
\end{pmatrix}\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
\cos\psi & 0 & \sin\psi & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\sin\psi & 0 & \cos\psi & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x+t_x\\
y+t_y\\
z+t_z\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
(z+t_z)\sin\psi + (x+t_x)\cos\psi\\
y+t_y\\
(z+t_z)\cos\psi - (x+t_x)\sin\psi\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x ((z+t_z)\sin\psi + (x+t_x)\cos\psi)\\
s_y (y+t_y)\\
s_z ((z+t_z)\cos\psi - (x+t_x)\sin\psi)\\
1
\end{pmatrix}
\)
なので、
\(x' = s_x ((z+t_z)\sin\psi + (x+t_x)\cos\psi)\)
\(y' = s_y (y+t_y)\)
\(z' = s_z ((z+t_z)\cos\psi - (x+t_x)\sin\psi)\)
\(
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)
\(
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x\\
0 & 1 & 0 & t_y\\
0 & 0 & 1 & t_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
1
\end{pmatrix}\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
x+t_x\\
y+t_y\\
z+t_z\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
\(
\begin{pmatrix}
(x+t_x)\cos\theta - (y+t_y)\sin\theta\\
(x+t_x)\sin\theta + (y+t_y)\cos\theta\\
z+t_z\\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
=
\begin{pmatrix}
s_x ((x+t_x)\cos\theta - (y+t_y)\sin\theta)\\
s_y ((x+t_x)\sin\theta + (y+t_y)\cos\theta)\\
s_z (z+t_z)\\
1
\end{pmatrix}
\)
なので、
\(x' = s_x ((x+t_x)\cos\theta - (y+t_y)\sin\theta)\)
\(y' = s_y ((x+t_x)\sin\theta + (y+t_y)\cos\theta)\)
\(z' = s_z (z+t_z)\)