本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。

動画の解説を参照

単位行列とは正方行列の一種で、対角成分 (「行目」と「列目」の数が等しい要素) がすべて1で、それ以外の要素がすべて0のもののことを指します。

例えば2行2列の単位行列は

\( \boldsymbol{E}_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

3行3列の単位行列は

\( \boldsymbol{E}_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

です (一般に、n行n列の単位行列は \(\boldsymbol{E}_n\) と書きます)。

行列 \(\boldsymbol{A}\) に対して、\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\), \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\) が単位行列になるような行列 \(\boldsymbol{B}\) のことを \(\boldsymbol{A}\) の逆行列 と呼び、\(\boldsymbol{A}^{-1}\) と書きます。

2行2列の行列 \(\boldsymbol{A}\) の逆行列 \(\boldsymbol{B}\) の成分を一般的に考えてみましょう。

\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) \(= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)

\(= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \)

\(= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

なので、以下の4つの式が成り立ちます。

\(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=1\cdots\) (1)
\(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=0\cdots\) (2)
\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0\cdots\) (3)
\(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=1\cdots\) (4)

(1)×\(a_{22}-\)(3)×\(a_{12}\) を計算すれば

\((a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})b_{11} = a_{22}\)

となるので、

\(b_{11} =\) \(\Large{\frac{a_{22}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}\cdots\) (5)

のように、\(\boldsymbol{A}\) の要素だけで \(b_{11}\) が表せます。同様に

(1)×\(a_{21}-\)(3)×\(a_{11}\) から \(b_{21} =\) \(\Large{\frac{a_{21}}{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}}\cdots\) (6)

(2)×\(a_{22}-\)(4)×\(a_{12}\) から \(b_{12} =\) \(\Large{\frac{-a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}\cdots\) (7)

(2)×\(a_{21}-\)(4)×\(a_{11}\) から \(b_{12} =\) \(\Large{\frac{-a_{11}}{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}}\cdots\) (8)

がいえます。

(6), (8) の分母は (5), (7) の分母に -1をかけたものなので、

\(|\boldsymbol{A}|\equiv a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

と定義すれば

\(b_{11} =\) \(\Large{\frac{a_{22}}{|\boldsymbol{A}|}}\), \(b_{21} =\) \(-\Large{\frac{a_{21}}{|\boldsymbol{A}|}}\), \(b_{12} =\) \(-\Large{\frac{a_{12}}{|\boldsymbol{A}|}}\), \(b_{22} =\) \(\Large{\frac{a_{11}}{|\boldsymbol{A}|}}\)

要するに

\( \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}=\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}}\) \( \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \) となります。

この \(|\boldsymbol{A}|\) のことを \(\boldsymbol{A}\) の行列式といいます。

実際、こうして求めた \(\boldsymbol{A}^{-1}\) と \(\boldsymbol{A}\) の積を求めてみると

\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}\) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & a_{11}a_{12}-a_{12}a_{11} \\ a_{21}a_{22}-a_{22}a_{21} & -a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11} \end{pmatrix} \) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}| & 0 \\ 0 & |\boldsymbol{A}| \end{pmatrix} = \boldsymbol{E}_2 \)

\(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21} & a_{22}a_{12}-a_{12}a_{22} \\ -a_{21}a_{11}+a_{11}a_{21} & -a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22} \end{pmatrix} \) \( =\Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}| & 0 \\ 0 & |\boldsymbol{A}| \end{pmatrix} = \boldsymbol{E}_2 \)

となり、どちらも単位行列になることが確かめられます。

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以下の行列 \(\boldsymbol{A}\) の逆行列 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) を求めてください。計算過程も書いてください。
※ 答え合わせ用の参考サイト (行列式, 逆行列)
課題1ヒント

動画の解説を参照

3行3列の行列 \(\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \) の行列式を考えてみましょう。この行列から「1行目と1列目」「1行目と2列目」「1行目と3列目」を取り除いた行列を作り、

\(\boldsymbol{A}_{11}\equiv \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \),　 \(\boldsymbol{A}_{12}\equiv -\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \),　 \(\boldsymbol{A}_{13}\equiv \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \)

と定義すると (これらを \(\boldsymbol{A}\) の余因子といいます。\(\boldsymbol{A}_{12}\) だけマイナスがついていることに注意してください。「取り除いた行番号＋取り除いた列番号」が奇数のときはマイナスがつきます)、

\(|\boldsymbol{A}|\)
\( =a_{11}|\boldsymbol{A}_{11}| +a_{12}|\boldsymbol{A}_{12}| +a_{13}|\boldsymbol{A}_{13}| \)
\( =a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) \) \( -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) \) \( +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \)
\( =a_{11}a_{22}a_{33} \) \( +a_{12}a_{23}a_{31} \) \( +a_{13}a_{21}a_{32} \) \( -a_{13}a_{22}a_{31} \) \( -a_{11}a_{23}a_{32} \) \( -a_{12}a_{21}a_{33} \)

のように書き下すことができます。
単に公式として覚えるなら、「右下がり方向にかけたものの和」-「左下がり方向にかけたものの和」(サラスの公式) です。

\(\boldsymbol{A}\) の逆行列 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) は

\( \boldsymbol{A}^{-1} = \) \( \Large{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \) \( \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}_{11}| & |\boldsymbol{A}_{21}| & |\boldsymbol{A}_{31}|\\ |\boldsymbol{A}_{12}| & |\boldsymbol{A}_{22}| & |\boldsymbol{A}_{32}|\\ |\boldsymbol{A}_{13}| & |\boldsymbol{A}_{23}| & |\boldsymbol{A}_{33}| \end{pmatrix} \)

で計算できます。例えば

\(\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1\\ 0 & -2 & 4\\ -3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

の場合は

\(|\boldsymbol{A}|=3\times(-2)\times5+5\times4\times(-3)+1\times0\times0\) \(-1\times(-2)\times(-3)-3\times4\times0-5\times0\times5\) \(=-96\)

\(|\boldsymbol{A}_{11}|= \begin{vmatrix} -2 & 4\\ 0 & 5 \end{vmatrix}=-10, \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{21}|= -\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 0 & 5 \end{vmatrix}=-25, \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{31}|= \begin{vmatrix} 5 & 1\\ -2 & 4 \end{vmatrix}=22 \)

\(|\boldsymbol{A}_{12}|= -\begin{vmatrix} 0 & 4\\ -3 & 5 \end{vmatrix}=-12, \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{22}|= \begin{vmatrix} 3 & 1\\ -3 & 5 \end{vmatrix}=18, \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{32}|= -\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 0 & 4 \end{vmatrix}=-12 \)

\(|\boldsymbol{A}_{13}|= \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix}=-6 \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{23}|= -\begin{vmatrix} 3 & 5\\ -3 & 0 \end{vmatrix}=-15 \) 　 \(|\boldsymbol{A}_{33}|= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=-6 \)

から

\(\boldsymbol{A}^{-1}= \) \( -\Large{\frac{1}{96}} \) \( \begin{pmatrix} -10 & -25 & 22\\ -12 & 18 & -12\\ -6 & -15 & -6 \end{pmatrix} \)

となります。

以下の行列 \(\boldsymbol{A}\) の逆行列 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) を求めてください。計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
※ 答え合わせ用の参考サイト (行列式, 逆行列)
課題2ヒント

課題解答