動画の解説を参照
2本のベクトルの内積は \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) のように書きます。
その値はもとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) から以下のように定義されます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
2本のベクトルの大きさを変えずに \(\theta\) を変えてみると、内積の性質がわかってきます。
\(-180\le\theta\le180\) の範囲で考えると、
\(\cos\theta\) は \(\theta=0\) のときに 1、\(\theta=\pm90\) で 0、\(\theta=\pm180\) で －1 になります。
つまり、ベクトルの向きが近いほど内積は大きく、互いに垂直なら内積は0、逆側を向いていれば内積は負の値になることがわかります。
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\(|\boldsymbol{c}|=\)
, \(|\boldsymbol{d}|=\)
,
\(\boldsymbol{c}\) と \(\boldsymbol{d}\) の間の角度 \(\phi\) が
の場合の
\(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{d}\)
を求めてください。ただし、結果は四捨五入して小数第2位までにし、計算過程も書いてください。
問題文で「小数第2位まで」と指定されているので、計算結果の小数第2位部分の値が「0」だった場合でも必ず第2位まで書いてください。
「四捨五入して14.1になった数」と「四捨五入して14.10になった数」は明確に意味が異なります。
前者は「14.05～14.149...」で0.1の範囲の誤差を含み、
後者は「14.095～14.1049...」で、誤差の範囲は0.01です。
動画の解説を参照
座標軸の正の方向を向いた単位ベクトルを
基底ベクトルといいます。
x方向の基底ベクトルは \(\boldsymbol{e}_x\)、y方向の基底ベクトルは \(\boldsymbol{e}_y\) のように書きます。
どんな平面ベクトルも、この2つのベクトルを使って表すことができます。
例えば \(\boldsymbol{a} = (5, 3)\) は
このような \(\boldsymbol{b} = (5, 0)\) と \(\boldsymbol{c} = (0, 3)\) の和、つまり
\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\)
のように表せます。
さらに、\(\boldsymbol{b}\) は \(\boldsymbol{e}_x\) の長さを5倍にしたものなので
\(\boldsymbol{b}=5\boldsymbol{e}_x\)、
\(\boldsymbol{c}\) は \(\boldsymbol{e}_y\) の長さを3倍にしたものなので
\(\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{e}_y\) となります。
つまり、\(\boldsymbol{a}\) は
\(\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y\)
のように書けることになります。
この表現を
基底ベクトルによる線型結合といいます。
動画の解説を参照
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y)\) と \(\boldsymbol{b}=(b_x, b_y)\) の内積を考えてみましょう。
基底ベクトルの線型結合の形で書くと、それぞれ
\(\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{e}_x+b_y\boldsymbol{e}_y\)
という形になるので、
\(
\begin{eqnarray}
&&\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\\
=&&(a_x\boldsymbol{e}_x+a_y\boldsymbol{e}_y)\cdot(b_x\boldsymbol{e}_x+b_y\boldsymbol{e}_y)\\
=&&a_xb_x\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x
+a_xb_y\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y
+a_yb_x\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x
+a_yb_y\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y
\end{eqnarray}
\)
となります。ここで \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\) がどちらも単位ベクトル (長さが1) で、2つが互いに垂直であることを考えれば
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\cos(0)=1\)
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\cos(90)=0\)
\(\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\cos(-90)=0\)
\(\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\cos(0)=1\)
になることがわかります。結局
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)
\(=a_xb_x\times1+a_xb_y\times0+a_yb_x\times0+a_yb_y\times1\)
\(=a_xb_x+a_yb_y\)
となります。要するに、内積は以下の公式で求められます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_xb_x+a_yb_y\)
課題2の \(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) について、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\) を求めてください。計算過程も書いてください。