本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。

動画の解説を参照

このような3つのベクトルを考えれば、

\(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\)

なので、両辺から \(\boldsymbol{b}\) を引けば

\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\)

となります。両辺のそれぞれのベクトルと \(\boldsymbol{c}\) の内積をとってみると、

\(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}\) \(=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\) \(=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdots(1)\)

となります。この式の右辺を展開すると

\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}\) \(-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\) \(-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}\)

となります。 ここで、自分との内積では角度が0になることから

\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} = \left|\boldsymbol{a}\right|^2\)
\(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = \left|\boldsymbol{b}\right|^2\)
\(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} = \left|\boldsymbol{c}\right|^2\)

となること、さらに内積の定義から

\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
\(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\boldsymbol{a}\right|\cos(-\theta)\)

ですが、\(\cos(\theta)=\cos(-\theta)\) であることから、この2つは全く同じであることがわかります。 結局、(1)式は

\(\left|\boldsymbol{c}\right|^2=\left|\boldsymbol{a}\right|^2+\left|\boldsymbol{b}\right|^2-2\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)

となります。3つのベクトルの大きさ \(\left|\boldsymbol{a}\right|\)～\(\left|\boldsymbol{c}\right|\) を \(a\) ～ \(c\) と定義すると、これは高校の数学Ⅰで出てくる余弦定理

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta)\)


と全く同じものになります。

\(\theta\) が-180～180の範囲で変わる場合に、\(\boldsymbol{a} = (1, 0)\), \(\boldsymbol{b}=(\cos(\theta), \sin(\theta))\) として、\(\theta\) に対する \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\) の大きさの表を完成させてください。
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
※ \(\boldsymbol{a}\) は図の (0, 0) から (1, 0) に向かう動かないベクトル、\(\boldsymbol{b}\) は円の中心から円周に向かうベクトルに相当します。

\(\theta\)	-180	-150	-120	-90	-60	-30	0	30	60	90	120	150	180
\(\left|\boldsymbol{c}\right|\)	2.00	1.93			1.00		0.00		1.00				2.00

※ 電卓アプリを使う場合は「真・関数電卓」等の関数電卓機能があるものを使ってください。例えばこのアプリで \(\theta = -150\) のときの \(\left|\boldsymbol{c}\right|\) を計算するとこのようになります。

課題1ヒント

動画の解説を参照

前回見たように、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の内積は

\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)

のように定義されます。この両辺を \(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\) で割れば、

\(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\)\(=\cos(\theta)\)

となります。つまり、各ベクトルの大きさと内積から角度の \(\cos\) がわかるわけです。
逆三角関数 \(\cos^{-1}\) (アークコサイン) を使えば、角度 \(\theta\) は

\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\)

のように表せます。

任意のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) を考え、 それらの始点を一致させ、2つのベクトル間の角度 \(\theta\) を含めた図を描いてください。
ただし、\(\theta\) は 0°、±90°、±180°のいずれにもならないようにしてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。

また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) 間の角度 \(\theta\) の値を求め、小数部分を四捨五入してください。

課題2ヒント
※ 動画中でExcelで行っている計算を電卓アプリで行うとこのようになります。
※ \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) はこの動画の例とは異なったものにしてください。

動画の解説を参照

内積を使って三角形の面積を求めることもできます。
このような三角形で、底辺を \(a\) とすると高さは \(b\sin(\theta)\) になるので、



三角形の面積 \(S\) は

\(S=\frac{1}{2}ab\sin(\theta)\)

となります。ここで数学の公式

\(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\)

を使えば、\(\theta\) が正の範囲では

\(\sin(\theta)=\sqrt{1-\cos^2(\theta)}\)

となります。ここで図のようなベクトルを考えれば、面積 \(S\) は



\(S=\frac{1}{2}ab\sin(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sqrt{1-\cos^2(\theta)}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2(1-\cos^2(\theta))}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2-(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2\cos^2(\theta))}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\boldsymbol{a}\right|^2\left|\boldsymbol{b}\right|^2-(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta))^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\boldsymbol{a}\right|^2\left|\boldsymbol{b}\right|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2}\)

のようになることがわかります。
要するに、面積は「2つのベクトルの大きさの2乗をかけたもの」から「2つのベクトルの内積の2乗」を引いて平方根を取って2で割れば求められます。

課題2で決めたベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) を2辺とする三角形の面積を求めてください。
結果は四捨五入して小数第1位までにしてください。
結果がちょうど整数になる場合も、小数第1位まで書いてください。
計算過程も書いてください。
課題3ヒント
※ 動画中でExcelで行っている計算を電卓アプリで行うとこのようになります。

課題解答