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学籍番号 入力

(0, 0), (, ), (, ) を頂点とする三角形の図を描いてください。
図には頂点の座標が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
またその三角形の面積を、ベクトルの外積を使って求めてください。
計算過程も書いてください。

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解答
三角形は以下のようになる。

\(\boldsymbol{a}\) = (, ), \(\boldsymbol{b}\) = (, ) とすると、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) = = =
なので、
\(S=\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right|=\)
となる。

(0, 0), (, ), (, ), (, ) を頂点とする四角形の図を描いてください (必ず平行四辺形になります)。
図には頂点の座標が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
またその四角形の面積を、ベクトルの外積を使って求めてください。
計算過程も書いてください。

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解答
四角形は以下のようになる。

\(\boldsymbol{a}\) = (, ), \(\boldsymbol{b}\) = (, ) とすると、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) = = =
なので、
\(S=\left|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right|=\)
となる。

概要のような円板に3つの重り a, b, c をつけ、つりあうように自分で考えて位置と重さを決めてください。
導出過程も書いてください。

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解答例
仮に重り a, b, c の位置を (-2, 3), (-3, -2), (3, 1) とし、a, b の重さを1、c の重さを未定の \(m_c\) とする。

すると、軸からそれぞれの重りに向かうベクトル \(\boldsymbol{r}_a\), \(\boldsymbol{r}_b\), \(\boldsymbol{r}_c\) と、 それにかかる力 \(\boldsymbol{F}_a\), \(\boldsymbol{F}_b\), \(\boldsymbol{F}_c\) は

\(\boldsymbol{r}_a=(-2, 3)\),  \(\boldsymbol{F}_a=(0, -1)\)
\(\boldsymbol{r}_b=(-3, -2)\), \(\boldsymbol{F}_b=(0, -1)\)
\(\boldsymbol{r}_c=(3, 1)\),   \(\boldsymbol{F}_c=(0, -m_c)\)

となる。これらについて力のモーメントを計算すると
\(N_a\) \(=\boldsymbol{r}_a\times\boldsymbol{F}_a\) \(=-2\times(-1)\) \(=2\)
\(N_b\) \(=\boldsymbol{r}_b\times\boldsymbol{F}_b\) \(=-3\times(-1)\) \(=3\)
\(N_c\) \(=\boldsymbol{r}_c\times\boldsymbol{F}_c\) \(=3\times(-m_c)\) \(=-3m_c\)

となる。つりあうためにはこれらの和が0であればよいので、

\(N_a+N_b+N_c\)\(=2+3-3m_c\)\(=0\)
\(5=3m_c\)
\(m_c=\frac{5}{3}\)
となる。よって、

重り a の重さを 1 にして (-2, 3) に、
重り b の重さを 1 にして (-3, -2) に、
重り c の重さを 5/3 にして (3, 1) に配置すればつりあう。