第7回 空間ベクトル：和・差、スカラー倍
本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。
3次元座標系
概要
動画の解説を参照
平面上のすべての点は x, y の2つの座標で表すことができますが、3次元の空間にある点を表すにはこのほかにもう一つの座標、つまりz座標が必要になります。 例えば xy平面上の点 (2, 4) から上に3だけ離れたところにある点の座標は (2, 4, 3) となります。この点を3次元の座標系で図示するには、まずこのように3つの座標軸を描き、
(2, 4, 0) から x, y軸に垂線 (斜めから見ているので、図ではy軸、x軸に平行な線) を描きます。
原点と (2, 4, 0) を結ぶ線と平行な方向に、z軸上の(0, 0, 3)の点から線を引き、また、(2, 4, 0) から真上に線を引くと、その交点が (2, 4, 3) になります。
下図はJavaScriptのライブラリ、Plotly で描画したものです。動かしてみて (0, 0, 0), (2, 4, 0), (2, 4, 3), (0, 0, 3) を頂点とする形が長方形であることを確認してください。
xy平面上の長方形の対角線は作図の補助線なので、(図が正しく描けているなら) 省略できます。
平面上のすべての点は x, y の2つの座標で表すことができますが、3次元の空間にある点を表すにはこのほかにもう一つの座標、つまりz座標が必要になります。 例えば xy平面上の点 (2, 4) から上に3だけ離れたところにある点の座標は (2, 4, 3) となります。この点を3次元の座標系で図示するには、まずこのように3つの座標軸を描き、
(2, 4, 0) から x, y軸に垂線 (斜めから見ているので、図ではy軸、x軸に平行な線) を描きます。
原点と (2, 4, 0) を結ぶ線と平行な方向に、z軸上の(0, 0, 3)の点から線を引き、また、(2, 4, 0) から真上に線を引くと、その交点が (2, 4, 3) になります。
下図はJavaScriptのライブラリ、Plotly で描画したものです。動かしてみて (0, 0, 0), (2, 4, 0), (2, 4, 3), (0, 0, 3) を頂点とする形が長方形であることを確認してください。
xy平面上の長方形の対角線は作図の補助線なので、(図が正しく描けているなら) 省略できます。
課題1
空間ベクトル
概要
動画の解説を参照
平面ベクトルと同様に、2つの点を結ぶ矢印として空間ベクトルを定義できます。
例えば原点 (0, 0, 0) を始点、 (2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a} = (2, 4, 3)\) はこのようになります。
\(\boldsymbol{a}\) の大きさは、2段階に分けて考えれば求められます。
まず、(0, 0, 0) と (2, 4, 0) をつなぐ線 (xy平面上の長方形の対角線) の長さを \(L\) とすると、三平方の定理から
\(L^2=2^2+4^2\)
となります。さらにこの線、ベクトルの終点からxy平面に下ろした垂線、ベクトルに沿った線からなる三角形も直角三角形なので、
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=L^2+3^2\)
が成り立つので、結局
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=2^2+4^2+3^2\)
つまり
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}\)
となります。より一般的に \(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) とすると、ベクトルの大きさは以下のように表されることがわかります。
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)
平面ベクトルと同様に、2つの点を結ぶ矢印として空間ベクトルを定義できます。
例えば原点 (0, 0, 0) を始点、 (2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a} = (2, 4, 3)\) はこのようになります。
\(\boldsymbol{a}\) の大きさは、2段階に分けて考えれば求められます。
まず、(0, 0, 0) と (2, 4, 0) をつなぐ線 (xy平面上の長方形の対角線) の長さを \(L\) とすると、三平方の定理から
\(L^2=2^2+4^2\)
となります。さらにこの線、ベクトルの終点からxy平面に下ろした垂線、ベクトルに沿った線からなる三角形も直角三角形なので、
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=L^2+3^2\)
が成り立つので、結局
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=2^2+4^2+3^2\)
つまり
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}\)
となります。より一般的に \(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) とすると、ベクトルの大きさは以下のように表されることがわかります。
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)
課題2
原点を始点とし、課題1で描いた図の点を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a}\) の大きさを求めてください。
計算過程も書き、四捨五入して小数第1位までにしてください。
結果が整数になる場合も小数第1位まで書いてください。
課題2ヒント
計算過程も書き、四捨五入して小数第1位までにしてください。
結果が整数になる場合も小数第1位まで書いてください。
課題2ヒント
空間ベクトルの和・差、スカラー倍
概要
動画の解説を参照
ベクトル同士の和・差も、平面ベクトルと同様に成分どうしの和・差で求められます。つまり、
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、
\(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)\)
\(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y, a_z-b_z)\)
となります。
ベクトルのスカラー倍も同様です。
\(s\boldsymbol{a} = (sa_x, sa_y, sa_z)\)
ベクトル同士の和・差も、平面ベクトルと同様に成分どうしの和・差で求められます。つまり、
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、
\(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)\)
\(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y, a_z-b_z)\)
となります。
ベクトルのスカラー倍も同様です。
\(s\boldsymbol{a} = (sa_x, sa_y, sa_z)\)
課題3
\(\boldsymbol{a} = \)
(, , ),
\(\boldsymbol{b} = \)
(, , )
とした場合の、\(\boldsymbol{a}\) \(\boldsymbol{b}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題3ヒント
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題3ヒント