第8回 空間ベクトル：内積
本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。
基底ベクトル
概要
動画の解説を参照
3次元の場合も、2次元のときと同様に基底ベクトル (座標軸の正の方向を向いた、大きさ1のベクトル) を考えることができます。
これらの成分を書き下すと以下のようになります。
\(\boldsymbol{e}_x = (1, 0, 0)\)
\(\boldsymbol{e}_y = (0, 1, 0)\)
\(\boldsymbol{e}_z = (0, 0, 1)\)
これらを使うと、例えば (0, 0, 0) を始点、(2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a}\) は
このような3つのベクトルの和と考えることができます。
つまり、
\(\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_x+4\boldsymbol{e}_y + 3\boldsymbol{e}_z\)
となります。要するに、これは \(\boldsymbol{a}\) を \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表した形です。
3次元の場合も、2次元のときと同様に基底ベクトル (座標軸の正の方向を向いた、大きさ1のベクトル) を考えることができます。
これらの成分を書き下すと以下のようになります。
\(\boldsymbol{e}_x = (1, 0, 0)\)
\(\boldsymbol{e}_y = (0, 1, 0)\)
\(\boldsymbol{e}_z = (0, 0, 1)\)
これらを使うと、例えば (0, 0, 0) を始点、(2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a}\) は
このような3つのベクトルの和と考えることができます。
つまり、
\(\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_x+4\boldsymbol{e}_y + 3\boldsymbol{e}_z\)
となります。要するに、これは \(\boldsymbol{a}\) を \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表した形です。
課題1
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
\(\boldsymbol{a}\) = (, , ) を \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表し、概要と同様の図を描いてください (\(\boldsymbol{a}\) は省略してもかまいません)。
課題1ヒント
\(\boldsymbol{a}\) = (, , ) を \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表し、概要と同様の図を描いてください (\(\boldsymbol{a}\) は省略してもかまいません)。
課題1ヒント
内積の定義
概要
動画の解説を参照
空間ベクトルでも、平面ベクトルと同様に2本のベクトルの内積は \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) のように書きます。
定義も同様で、もとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) で表されます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと
\(\boldsymbol{a} = a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{b} = b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z\)
となるので、
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(=(a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z)\) \(\cdot\) \((b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z)\)
のようになります。 これを展開すると9個の項ができますが、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) がどれも単位ベクトルであること、\(\boldsymbol{e}_x\) と \(\boldsymbol{e}_y\)、\(\boldsymbol{e}_y\) と \(\boldsymbol{e}_z\)、\(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\)、が垂直に交わることを考えると、
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=1\)
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=0\)
になることがわかります。要するに、残るのは「同じ方向の成分どうしの積の和」だけ、つまり
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\)
となります。
空間ベクトルでも、平面ベクトルと同様に2本のベクトルの内積は \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) のように書きます。
定義も同様で、もとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) で表されます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと
\(\boldsymbol{a} = a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{b} = b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z\)
となるので、
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(=(a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z)\) \(\cdot\) \((b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z)\)
のようになります。 これを展開すると9個の項ができますが、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) がどれも単位ベクトルであること、\(\boldsymbol{e}_x\) と \(\boldsymbol{e}_y\)、\(\boldsymbol{e}_y\) と \(\boldsymbol{e}_z\)、\(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\)、が垂直に交わることを考えると、
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=1\)
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_z\) \(=0\)
になることがわかります。要するに、残るのは「同じ方向の成分どうしの積の和」だけ、つまり
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\)
となります。
課題2
\(\boldsymbol{a} = \)
(, , ),
\(\boldsymbol{b} = \)
(, , )
の図を描き、\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題2ヒント
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題2ヒント
ベクトルどうしの角度
概要
動画の解説を参照
内積の定義
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
は平面図形のときと同じなので、第3回で求めた
\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\)
も同様に成り立ちます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、これらの成分を使って以下のように表せます。
\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}}\right)\)
内積の定義
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
は平面図形のときと同じなので、第3回で求めた
\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\)
も同様に成り立ちます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、これらの成分を使って以下のように表せます。
\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}}\right)\)
課題3
課題2の \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) どうしの角度 \(\theta\) を求めてください。
小数部分を四捨五入して整数の形にしてください。
計算過程も書いてください。
課題3ヒント
※ 電卓で解く場合は、動画の例ならこのように入力すれば求められます。
小数部分を四捨五入して整数の形にしてください。
計算過程も書いてください。
課題3ヒント
※ 電卓で解く場合は、動画の例ならこのように入力すれば求められます。