動画の解説を参照
2本のベクトルの内積は \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) のように書きます。
その値はもとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) から以下のように定義されます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos(\theta)\)
2本のベクトルの大きさを変えずに \(\theta\) を変えてみると、内積の性質がわかってきます。
\(-180\le\theta\le180\) の範囲で考えると、
\(\cos(\theta)\) は \(\theta=0\) のときに 1、\(\theta=\pm90\) で 0、\(\theta=\pm180\) で -1 になります。
つまり、ベクトルの向きが近いほど内積は大きく、互いに垂直なら内積は0、逆側を向いていれば内積は負の値になることがわかります。
以下の表を完成させてください。ただし \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) はどちらも単位ベクトルであるものとします。
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
| \(\theta\) |
-180 |
-150 |
-120 |
-90 |
-60 |
-30 |
0 |
30 |
60 |
90 |
120 |
150 |
180 |
| \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) |
-1.00 |
|
|
|
|
|
1.00 |
|
|
|
|
|
-1.00 |
課題1ヒント
動画の解説を参照
座標軸の正の方向を向いた単位ベクトルを
基底ベクトルといいます。
x方向の基底ベクトルは \(\boldsymbol{e}_x\)、y方向の基底ベクトルは \(\boldsymbol{e}_y\) のように書きます。
どんな平面ベクトルも、この2つのベクトルを使って表すことができます。
例えば \(\boldsymbol{a} = (5, 3)\) は
このような \(\boldsymbol{b} = (5, 0)\) と \(\boldsymbol{c} = (0, 3)\) の和、つまり
\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\)
のように表せます。
さらに、\(\boldsymbol{b}\) は \(\boldsymbol{e}_x\) の長さを5倍にしたものなので
\(\boldsymbol{b}=5\boldsymbol{e}_x\)、
\(\boldsymbol{c}\) は \(\boldsymbol{e}_y\) の長さを3倍にしたものなので
\(\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{e}_y\) となります。
つまり、\(\boldsymbol{a}\) は
\(\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y\)
のように書けることになります。
この表現を
線型結合といいます。
\(\boldsymbol{b}=(5, -1)\), \(\boldsymbol{c}=(3, 2)\) を線型結合で表してください。
さらに、\(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\) を図示し、線型結合で表してください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
課題2ヒント
動画の解説を参照
\(\boldsymbol{a} = (5, 3)\) と \(\boldsymbol{b}=(4, -2)\) の内積を考えてみましょう。
線型結合の形で書くと、それぞれ
\(\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{e}_x-2\boldsymbol{e}_y\)
という形になるので、
|
\(
\begin{eqnarray}
&&\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\\
=&&(5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y)\cdot(4\boldsymbol{e}_x-2\boldsymbol{e}_y)\\
=&&20\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x
-10\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y
+12\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x
-6\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y
\end{eqnarray}
\)
|
となります。ここで \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\) がどちらも単位ベクトルで、2つが互いに垂直であることを考えれば
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\cos(0)=1\)
\(\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\cos(90)=0\)
\(\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\cos(-90)=0\)
\(\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\cos(0)=1\)
になることがわかります。結局
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)
\(=20\times1-10\times0+12\times0-6\times1\)
\(=20-6=14\)
となります。
要するに、「それぞれの x成分どうしをかけたもの」「それぞれの y成分どうしをかけたもの」を足したものがベクトルの内積になります。
\(\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\) が正の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) を考え、
\(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) の始点を一致させた図を描いてください。
同様に、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\) が負の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) を考え、
\(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) の始点を一致させた図を描いてください。
これらのベクトルの成分は、自分で任意に決めてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{e}\)、\(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g}\)
の値を求めてください。
課題3ヒント
※ \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{g}\) はこの動画の例とは異なったものにしてください。