第5回 平面ベクトル：外積 (1)
本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。
外積の定義
概要
動画の解説を参照
2本のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の外積は \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) のように書きます。
その値はもとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) から以下のように定義されます (\(\theta\) は \(\boldsymbol{a}\) からみた \(\boldsymbol{b}\) の向きで、反時計回りが正)。
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\)
2本のベクトルの大きさを変えずに \(\theta\) を変えてみると、外積の性質がわかってきます。
\(-180\le\theta\le180\) の範囲で考えると、 \(\sin(\theta)\) は \(\theta=0, \pm180\) のときに 0、\(\theta=-90\) で -1、\(\theta=90\) で 1 になります。
つまり、\(\boldsymbol{a}\) に対して \(\boldsymbol{b}\) が左側にあれば外積は正の値、右側にあれば外積は負の値、向きがちょうど同じか逆であれば 0 になることがわかります。
また、外積の値は \(\theta\) に対して反対称な形をしているので、ベクトルの順番が逆になれば値も逆になります。
\(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)
2本のベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の外積は \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) のように書きます。
その値はもとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) から以下のように定義されます (\(\theta\) は \(\boldsymbol{a}\) からみた \(\boldsymbol{b}\) の向きで、反時計回りが正)。
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\)
2本のベクトルの大きさを変えずに \(\theta\) を変えてみると、外積の性質がわかってきます。
\(-180\le\theta\le180\) の範囲で考えると、 \(\sin(\theta)\) は \(\theta=0, \pm180\) のときに 0、\(\theta=-90\) で -1、\(\theta=90\) で 1 になります。
つまり、\(\boldsymbol{a}\) に対して \(\boldsymbol{b}\) が左側にあれば外積は正の値、右側にあれば外積は負の値、向きがちょうど同じか逆であれば 0 になることがわかります。
また、外積の値は \(\theta\) に対して反対称な形をしているので、ベクトルの順番が逆になれば値も逆になります。
\(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)
実は、外積は空間図形ではベクトルとして定義されます。
平面図形の外積はちょうど紙面(画面)に垂直な方向のベクトルなので、向きを考えずに大きさ (ただし符号を含む) のみをスカラーの量として扱います。
平面図形の外積はちょうど紙面(画面)に垂直な方向のベクトルなので、向きを考えずに大きさ (ただし符号を含む) のみをスカラーの量として扱います。
課題1
以下の表を完成させてください。ただし \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) はどちらも単位ベクトルであるものとします。
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
※ 電卓アプリを使う場合は「真・関数電卓」等の関数電卓機能があるものを使ってください。
課題1ヒント
電卓等を使って計算し、端数は四捨五入して小数第二位までにしてください。
結果が整数や小数第一位で終わる値の場合も、小数第二位まで書いてください。
| \(\theta\) | -180 | -150 | -120 | -90 | -60 | -30 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) | 0.00 | -1.00 | 0.00 | 1.00 | 0.00 |
課題1ヒント
成分を使った外積の求め方
概要
動画の解説を参照
\(\boldsymbol{a} = (5, 3)\) と \(\boldsymbol{b}=(4, -2)\) の外積を考えてみましょう。
線型結合の形で書くと、それぞれ
\(\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{e}_x-2\boldsymbol{e}_y\)
という形になるので、
となります。ここで \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\) がどちらも単位ベクトルであることと、これらの向きの関係を考えれば
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\sin(0)=0\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\sin(90)=1\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\sin(-90)=-1\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\sin(0)=0\)
になることがわかります。結局
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=20\times0-10\times1+12\times(-1)-6\times0\) \(=-10-12=-22\)
となります。より一般的に
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y)\) と \(\boldsymbol{b}=(b_x, b_y)\)
と書けば、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = a_xb_y - a_yb_x\)
となります。
\(\boldsymbol{a} = (5, 3)\) と \(\boldsymbol{b}=(4, -2)\) の外積を考えてみましょう。
線型結合の形で書くと、それぞれ
\(\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{e}_x-2\boldsymbol{e}_y\)
という形になるので、
| \( \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\\ =&&(5\boldsymbol{e}_x+3\boldsymbol{e}_y)\times(4\boldsymbol{e}_x-2\boldsymbol{e}_y)\\ =&&20\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x -10\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y +12\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x -6\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y \end{eqnarray} \) |
となります。ここで \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\) がどちらも単位ベクトルであることと、これらの向きの関係を考えれば
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\sin(0)=0\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_x\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\sin(90)=1\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_x\right|\sin(-90)=-1\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y=\left|\boldsymbol{e}_y\right|\left|\boldsymbol{e}_y\right|\sin(0)=0\)
になることがわかります。結局
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=20\times0-10\times1+12\times(-1)-6\times0\) \(=-10-12=-22\)
となります。より一般的に
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y)\) と \(\boldsymbol{b}=(b_x, b_y)\)
と書けば、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = a_xb_y - a_yb_x\)
となります。
課題2
\(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\) が正の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{c}\), \(\boldsymbol{d}\) を考え、
\(\boldsymbol{c}\), \(\boldsymbol{d}\) の始点を一致させた図を描いてください。
同様に、\(\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{f}\) が負の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) を考え、 \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) の始点を一致させた図を描いてください。
これらのベクトルの成分は、自分で任意に決めてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\)、\(\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{f}\) の値を求めてください。
課題2ヒント
※ \(\boldsymbol{c}\), \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) はこの動画の例とは異なったものにしてください。
同様に、\(\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{f}\) が負の値になる2つのベクトル \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) を考え、 \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) の始点を一致させた図を描いてください。
これらのベクトルの成分は、自分で任意に決めてください。
図には各ベクトルの始点・終点が明確になるように、縦横の罫線を入れてください。
また、計算過程も含めて \(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\)、\(\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{f}\) の値を求めてください。
課題2ヒント
※ \(\boldsymbol{c}\), \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\), \(\boldsymbol{f}\) はこの動画の例とは異なったものにしてください。
内積・外積の値から角度の範囲を判定する
概要
動画の解説を参照
\(\boldsymbol{a}\) からみた \(\boldsymbol{b}\) の向き \(\theta\) の範囲を \(-180 < \theta < 180\) とすると、
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) は \(\theta\) が鋭角 (-90～90) なら正、鈍角 (-180～-90, 90～180) なら負になります。
一方、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は \(\theta\) が正なら正、\(\theta\) が負なら負になります。
まとめると以下のようになります。
\(\boldsymbol{a}\) からみた \(\boldsymbol{b}\) の向き \(\theta\) の範囲を \(-180 < \theta < 180\) とすると、
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) は \(\theta\) が鋭角 (-90～90) なら正、鈍角 (-180～-90, 90～180) なら負になります。
一方、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は \(\theta\) が正なら正、\(\theta\) が負なら負になります。
まとめると以下のようになります。
| \(\theta\) の範囲 | \(\boldsymbol{a}\) に対する \(\boldsymbol{b}\) の向き | \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) | \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) |
|---|---|---|---|
| -180 | ちょうど逆向き | - | 0 |
| -180～-90 | 右後ろ向き | - | - |
| -90 | ちょうど右向き | 0 | - |
| -90～0 | 右前向き | + | - |
| 0 | ちょうど同じ向き | + | 0 |
| 0～90 | 左前向き | + | + |
| 90 | ちょうど左向き | 0 | + |
| 90～180 | 左後ろ向き | - | + |
| 180 | ちょうど逆向き | - | 0 |
課題3
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
\(\boldsymbol{a}\) = (, )
\(\boldsymbol{b}\) = (, )
計算過程も含め、\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の値を求めてください。
その値をもとに、\(\boldsymbol{a}\) に対する \(\boldsymbol{b}\) の向きが次のどれであるかを判定してください。
さらに、上記のことを行ったあとで \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の始点を一致させた図を描いてください。
課題3ヒント
\(\boldsymbol{a}\) = (, )
\(\boldsymbol{b}\) = (, )
計算過程も含め、\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の値を求めてください。
その値をもとに、\(\boldsymbol{a}\) に対する \(\boldsymbol{b}\) の向きが次のどれであるかを判定してください。
- ちょうど逆向き
- 右後ろ向き
- ちょうど右向き
- 右前向き
- ちょうど同じ向き
- 左前向き
- ちょうど左向き
- 左後ろ向き
さらに、上記のことを行ったあとで \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の始点を一致させた図を描いてください。
課題3ヒント