第9回 空間ベクトル：外積 (1)
本題に入る前に、必ず動画の連絡を見てください。
外積の定義
概要
動画の解説を参照
第5回で扱った平面ベクトルの外積は向きを持たないスカラー量でしたが、 空間ベクトルの外積はベクトルとして定義されます。
\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) とすると、\(\boldsymbol{c}\) の大きさは
\(|\boldsymbol{c}|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\)
のように表されます。 ここで、\(\theta\) は \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の間の角度です。平面ベクトルのときと違い、単純に「どれだけ開いているか」なのでマイナスの値にはならず、範囲は \(0\le\theta\le180\) です。つまり、\(0\le\sin(\theta)\le1\) となります。
\(\boldsymbol{c}\) はベクトルなので向きの情報も持ちます。その向きは \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) のどちらとも垂直で、\(\boldsymbol{a}\) から \(\boldsymbol{b}\) に向かう回転に対する右ネジの向きです。
話を簡単にするため、\(\boldsymbol{a} = (1, 0, 0)\) と \(\boldsymbol{b} = (\cos(\alpha), \sin(\alpha), 0)\) の場合を考えてみましょう。
この場合は、2つのベクトルはどちらも大きさが1で、XY平面上にあります。
\(0\lt\alpha\lt180\) の場合は、右ネジの向きは zの正方向になるのでこのように \(\boldsymbol{c}\) は上向きになります。
その大きさは \(|\boldsymbol{c}|\) \(=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\) \(=\sin(\alpha)\) となります。
成分を書き下すと \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin(\alpha))\) となります。
一方、\(180\lt\alpha\lt360\) の場合は、右ネジの向きは zの負方向になるので \(\boldsymbol{c}\) は下向きになります。
その大きさは \(|\boldsymbol{c}|\) \(=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\) \(=\sin(360-\alpha)\) \(=-\sin(\alpha)\) となります。
この場合は \(\sin(\alpha)\lt0\) なので、\(\boldsymbol{c}\) の終点は「原点から\(-\sin(\alpha)\)」下がった位置、つまり「原点から\(\sin(\alpha)\)だけz方向に移動した位置」なので、成分は \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin(\alpha))\) で、さっきの場合と同じになります。
結局、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) がXY平面上にある場合は、\(\boldsymbol{c}\) のz成分は「平面ベクトルでの外積の定義」と同じものになります。
逆にいうと、外積は本当はベクトルだけれども平面図形で考えている場合はz成分しか存在しないのでその値だけを「外積」として扱っていたということです。
以下の□に \(\alpha\) の値を入れて「入力」をクリック (タップ) すると、\(\boldsymbol{a}\)(赤), \(\boldsymbol{b}\)(緑), \(\boldsymbol{c}\)(青) が表示されます (矢印は表示されません)。値を変えてどのように \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) が変化するか確認してください。
\(\alpha=\)
第5回で扱った平面ベクトルの外積は向きを持たないスカラー量でしたが、 空間ベクトルの外積はベクトルとして定義されます。
\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) とすると、\(\boldsymbol{c}\) の大きさは
\(|\boldsymbol{c}|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\)
のように表されます。 ここで、\(\theta\) は \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の間の角度です。平面ベクトルのときと違い、単純に「どれだけ開いているか」なのでマイナスの値にはならず、範囲は \(0\le\theta\le180\) です。つまり、\(0\le\sin(\theta)\le1\) となります。
\(\boldsymbol{c}\) はベクトルなので向きの情報も持ちます。その向きは \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) のどちらとも垂直で、\(\boldsymbol{a}\) から \(\boldsymbol{b}\) に向かう回転に対する右ネジの向きです。
話を簡単にするため、\(\boldsymbol{a} = (1, 0, 0)\) と \(\boldsymbol{b} = (\cos(\alpha), \sin(\alpha), 0)\) の場合を考えてみましょう。
この場合は、2つのベクトルはどちらも大きさが1で、XY平面上にあります。
\(0\lt\alpha\lt180\) の場合は、右ネジの向きは zの正方向になるのでこのように \(\boldsymbol{c}\) は上向きになります。
その大きさは \(|\boldsymbol{c}|\) \(=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\) \(=\sin(\alpha)\) となります。
成分を書き下すと \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin(\alpha))\) となります。
一方、\(180\lt\alpha\lt360\) の場合は、右ネジの向きは zの負方向になるので \(\boldsymbol{c}\) は下向きになります。
その大きさは \(|\boldsymbol{c}|\) \(=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin(\theta)\) \(=\sin(360-\alpha)\) \(=-\sin(\alpha)\) となります。
この場合は \(\sin(\alpha)\lt0\) なので、\(\boldsymbol{c}\) の終点は「原点から\(-\sin(\alpha)\)」下がった位置、つまり「原点から\(\sin(\alpha)\)だけz方向に移動した位置」なので、成分は \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin(\alpha))\) で、さっきの場合と同じになります。
結局、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) がXY平面上にある場合は、\(\boldsymbol{c}\) のz成分は「平面ベクトルでの外積の定義」と同じものになります。
逆にいうと、外積は本当はベクトルだけれども平面図形で考えている場合はz成分しか存在しないのでその値だけを「外積」として扱っていたということです。
以下の□に \(\alpha\) の値を入れて「入力」をクリック (タップ) すると、\(\boldsymbol{a}\)(赤), \(\boldsymbol{b}\)(緑), \(\boldsymbol{c}\)(青) が表示されます (矢印は表示されません)。値を変えてどのように \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) が変化するか確認してください。
\(\alpha=\)
課題1
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
\(\boldsymbol{a}\) の大きさが でX軸の正方向を向いていて、 \(\boldsymbol{b}\) の大きさが でXY平面上にあり、X軸の正方向からZ軸を基準に反時計まわりに度回転した方向を向いている場合の \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の成分を書き下してください。
成分が小数第2位以降の値をもつ場合は四捨五入して小数第1位までにしてください。
課題1ヒント
\(\boldsymbol{a}\) の大きさが でX軸の正方向を向いていて、 \(\boldsymbol{b}\) の大きさが でXY平面上にあり、X軸の正方向からZ軸を基準に反時計まわりに度回転した方向を向いている場合の \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の成分を書き下してください。
成分が小数第2位以降の値をもつ場合は四捨五入して小数第1位までにしてください。
課題1ヒント
成分を使った外積の求め方
概要
動画の解説を参照
基底ベクトルどうしの外積を考えてみましょう。
まず、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) のような自分自身との外積では、角度が0になるので sin の値も0、つまり向きも長さも持たないベクトルになります。
このようなベクトルを「零ベクトル」と呼び、\(\boldsymbol{0}\) と書きます。成分を書き下すと \(\boldsymbol{0} = (0, 0, 0)\) です。
y方向, z方向の基底ベクトルについても同様なので、以下のことが言えます。
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{0}\)
異なる基底ベクトルどうしの外積は全部で6つあります。
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y\) は、2つのベクトルの長さがどちらも1で、それらのあいだの角度が90度なので大きさは1になります。
また、右ネジの向きはZ軸の正の方向なので、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z\) になります。
一方、\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x\) は長さは1ですが、向きは逆になります。
つまり \(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x = -\boldsymbol{e}_z\) です。
\(\boldsymbol{e}_y\) と \(\boldsymbol{e}_z\), \(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\) についても同様に考えることができます。まとめると
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x\)
\(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_x = \boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x = -\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_y = -\boldsymbol{e}_x\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_z = -\boldsymbol{e}_y\)
となります。 これらを使えば、\(\boldsymbol{e}_x\),\(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表されたベクトルどうしの外積も求められます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと
\(\boldsymbol{a} = a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{b} = b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z\)
となるので、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=(a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z)\) \(\times\) \((b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z)\)
のようになります。 これを展開すると9個の項ができますが、零ベクトルになるものを消し、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の係数をまとめれば、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=(a_yb_z - a_zb_y) \boldsymbol{e}_x\) \(+(a_zb_x - a_xb_z) \boldsymbol{e}_y\) \(+(a_xb_y - a_yb_x) \boldsymbol{e}_z\)
となります (\(\boldsymbol{e}_z\) の係数は、まさに第5回で見た平面ベクトルの成分を使って外積を求める式そのものです)。
基底ベクトルどうしの外積を考えてみましょう。
まず、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) のような自分自身との外積では、角度が0になるので sin の値も0、つまり向きも長さも持たないベクトルになります。
このようなベクトルを「零ベクトル」と呼び、\(\boldsymbol{0}\) と書きます。成分を書き下すと \(\boldsymbol{0} = (0, 0, 0)\) です。
y方向, z方向の基底ベクトルについても同様なので、以下のことが言えます。
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{0}\)
異なる基底ベクトルどうしの外積は全部で6つあります。
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y\) は、2つのベクトルの長さがどちらも1で、それらのあいだの角度が90度なので大きさは1になります。
また、右ネジの向きはZ軸の正の方向なので、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z\) になります。
一方、\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x\) は長さは1ですが、向きは逆になります。
つまり \(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x = -\boldsymbol{e}_z\) です。
\(\boldsymbol{e}_y\) と \(\boldsymbol{e}_z\), \(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\) についても同様に考えることができます。まとめると
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) \(=\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_y\) \(=\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_z\) \(=\boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x\)
\(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_x = \boldsymbol{e}_y\)
\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x = -\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{e}_y = -\boldsymbol{e}_x\)
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_z = -\boldsymbol{e}_y\)
となります。 これらを使えば、\(\boldsymbol{e}_x\),\(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表されたベクトルどうしの外積も求められます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと
\(\boldsymbol{a} = a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z\)
\(\boldsymbol{b} = b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z\)
となるので、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=(a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z)\) \(\times\) \((b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z)\)
のようになります。 これを展開すると9個の項ができますが、零ベクトルになるものを消し、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の係数をまとめれば、
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) \(=(a_yb_z - a_zb_y) \boldsymbol{e}_x\) \(+(a_zb_x - a_xb_z) \boldsymbol{e}_y\) \(+(a_xb_y - a_yb_x) \boldsymbol{e}_z\)
となります (\(\boldsymbol{e}_z\) の係数は、まさに第5回で見た平面ベクトルの成分を使って外積を求める式そのものです)。
課題2
\(\boldsymbol{a} = \)
(, , ),
\(\boldsymbol{b} = \)
(, , )
の場合の \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) を求め、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\),
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の図を描いてください。
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題2ヒント
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題2ヒント
外積の性質の確認
概要
動画の解説を参照
外積はその定義から元になった2つのベクトルのどちらとも垂直になります。
2つのベクトルが垂直であるかどうかは、内積を計算してみればわかります。 内積はそれぞれのベクトルの大きさ、それらの間の角度の cos をかけたものなので、 2つのベクトルのすくなくともどちらかが零ベクトルでない限り、内積が0であれば cos の値は0、つまり2つのベクトルは垂直であることになります。
「成分を使った外積の求め方」の概要の最後の式の形を使えば、
\(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\)
\(=a_x(a_yb_z-a_zb_y)\) \(+a_y(a_zb_x-a_xb_z)\) \(+a_z(a_xb_y-a_yb_x)\)
\(=(a_ya_z-a_za_y)b_x\) \(+(a_za_x-a_xa_z)b_y\) \(+(a_xa_y-a_ya_x)b_z\)
\(=0\)
となり、確かに \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が元のベクトルのひとつ \(\boldsymbol{a}\) と垂直に交わることが確かめられます。同様に
\(\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\)
\(=b_x(a_yb_z-a_zb_y)\) \(+b_y(a_zb_x-a_xb_z)\) \(+b_z(a_xb_y-a_yb_x)\)
\(=(b_zb_y-b_yb_z)a_x\) \(+(b_xb_z-b_zb_x)a_y\) \(+(b_yb_x-b_xb_y)a_z\)
\(=0\)
なので、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が \(\boldsymbol{b}\) とも垂直に交わることが確かめられます。
外積はその定義から元になった2つのベクトルのどちらとも垂直になります。
2つのベクトルが垂直であるかどうかは、内積を計算してみればわかります。 内積はそれぞれのベクトルの大きさ、それらの間の角度の cos をかけたものなので、 2つのベクトルのすくなくともどちらかが零ベクトルでない限り、内積が0であれば cos の値は0、つまり2つのベクトルは垂直であることになります。
「成分を使った外積の求め方」の概要の最後の式の形を使えば、
\(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\)
\(=a_x(a_yb_z-a_zb_y)\) \(+a_y(a_zb_x-a_xb_z)\) \(+a_z(a_xb_y-a_yb_x)\)
\(=(a_ya_z-a_za_y)b_x\) \(+(a_za_x-a_xa_z)b_y\) \(+(a_xa_y-a_ya_x)b_z\)
\(=0\)
となり、確かに \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が元のベクトルのひとつ \(\boldsymbol{a}\) と垂直に交わることが確かめられます。同様に
\(\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\)
\(=b_x(a_yb_z-a_zb_y)\) \(+b_y(a_zb_x-a_xb_z)\) \(+b_z(a_xb_y-a_yb_x)\)
\(=(b_zb_y-b_yb_z)a_x\) \(+(b_xb_z-b_zb_x)a_y\) \(+(b_yb_x-b_xb_y)a_z\)
\(=0\)
なので、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が \(\boldsymbol{b}\) とも垂直に交わることが確かめられます。
課題3
課題2の \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) について、\(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\) と
\(\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\) を求めてください。
計算過程も書いてください。
課題3ヒント
計算過程も書いてください。
課題3ヒント