動画の解説を参照
3つのベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) があるとき、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)
はベクトルなので、これと \(\boldsymbol{c}\) の内積を求めることができます。内積なので、これはスカラー量になります。
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
のことをこれらの
スカラー三重積といいます。
これは立体図形と密接に関係しています。
平行六面体とは6つの平行四辺形で囲まれた立体図形のことです。長方形は平行四辺形の一種なので、直方体も平行六面体の一種です。
(余談ですが、正方形も長方形の一種なので、立方体も直方体の一種です)
平行六面体には辺が12本ありますが、4本ずつ長さも向きも同じ組み合わせがあります (図の赤・緑・青)。
向かい合った面は完全に合同です (それぞれ赤と緑、緑と青、青と赤で囲まれた平行四辺形)。
平行六面体の体積を考えてみましょう。
太い赤、緑、青の線を \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) (いずれも黒丸が始点) とし、
太線の赤と緑で囲まれた面を底面と考えると、その面積 \(S\) は\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の外積の絶対値になります (
第6回)。
\(S=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\)
また、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) はこの面に垂直になります (
第9回)。
平行六面体の高さ \(h\) は、青の辺を底面に垂直な方向に射影した線 (図の黒線) の長さになります。これは底面の単位法線ベクトル \(\boldsymbol{e}_{ab}\) と \(\boldsymbol{c}\)
の内積で求められます。
\(h=\boldsymbol{e}_{ab}\cdot\boldsymbol{c}\)
平行六面体の体積 \(V\) は底面の面積と高さをかければ求められるので、
\(V=Sh\)
\(=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\boldsymbol{e}_{ab}\cdot\boldsymbol{c}\)
ですが、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{c}\) の向きに応じて \(\boldsymbol{e}_{ab}\) は
\(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|}}\)
か
\(-\Large{\frac{\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|}}\)
のどちらか一方になることを考えると、\(V\) は
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
か
\(-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
のどちらかになることがわかります。結局、体積はスカラー三重積の絶対値
\(V=|(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}|\)
で求められることになります。
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
平行六面体の1つの頂点の座標が (
,
,
) で、
その点に隣接する3つの点の座標が
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
)
のとき、その平行六面体の体積を求めてください。計算過程も書いてください。
課題1ヒント
動画の解説を参照
こんどは \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{c}\) の外積
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\)を考えてみましょう。
外積なので、これはベクトル量になります。これを
ベクトル三重積といいます。
その x 成分は
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_yc_z\)
\(-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_zc_y\)
\(=(a_zb_x - a_xb_z)c_z\)
\(-(a_xb_y-a_yb_x)c_y\)
\(=(a_yc_y+a_zc_z)b_x\)
\(-(b_yc_y+b_zc_z)a_x\)
\(=(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x\)
\(-(b_xc_x+b_yc_y+b_zc_z)a_x\)
\(=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_x\)
\(-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_x\)
同様に、
y成分は \((\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_y\)
\(-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_y\)
z成分は \((\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_z\)
\(-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_z\)
となるので、
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\)
\(=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}\)
で、\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の線型結合の形で表されることがわかります。
これは立体図形として考えれば当然のことで、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) を含む面に垂直なので、
さらにそれと別のベクトルとの外積はそれに垂直になります。
3つのベクトル
\(\boldsymbol{a}\) = (
,
,
),
\(\boldsymbol{b}\) = (
,
,
),
\(\boldsymbol{c}\) = (
,
,
)
について、ベクトル三重積 \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\) の成分を書き下してください。
計算過程も書いてください。
※ 問題文が正しく表示されていない場合は課題1で学籍番号を入力して「入力」をクリック (タップ) してください。
課題2ヒント